Harnack-Ungleichungen für Krümmungsflüsse und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Julian Scheuer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 319506420

Gegenstand der Untersuchungen dieses Projekts ist das Verhalten von strikt konvexen Hyperflächen Riemannscher Mannigfaltigkeiten unter von ihrer Krümmung bestimmter Deformation, wie z.B. unter dem mittleren Krümmungsfluss und seinen voll nichtlinearen Varianten. Es sollen Harnack-Ungleichungen für die Flussgeschwindigkeit hergeleitet werden, ein Problem, das bisher fast ausschließlich im Euklidischen Raum betrachtet wurde. Als Anwendungen sollen neue Konvergenzresultate für Flüsse in der Sphäre bewiesen werden, insbesondere die Klassifizierung vorzeitlich ewiger Lösungen und die glatte Konvergenz nach Reskalierung zu einer Grenzfläche. Wir streben diese Resultate für eine Klasse von Geschwindigkeiten an, die auch Potenzen der Gaußkrümmung enthält und im Zuge dessen auch für Flüsse in Räumen nichtkonstanter Krümmung erzielt werden sollen. Bei solchen Problemen ist eine genaue Abschätzung der Flussgeschwindigkeit eine entscheidende Hürde, die mit Hilfe der Harnack-Ungleichungen überwunden werden soll. Um Harnack-Ungleichungen in allgemeinem Rahmen zu beweisen, soll ein Ersatz für die im Euklidischen Raum bewährte Gaußparametrisierung einer strikt konvexen Hyperfläche gefunden werden. Die vorliegenden Fragestellungen knüpfen an aktuelle Forschungsresultate an und beleuchten bisher unbeantwortete Aspekte im Bereich der Krümmungsflüsse.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen