Effective One-Particle Equations for Correlated Many-Particle-(Coulomb) Systems: Derivation and Properties
Theoretical Chemistry: Electronic Structure, Dynamics, Simulation
Theoretical Condensed Matter Physics
Final Report Abstract
Im Rahmen des Projektes wurde gezeigt, wie einfache, sogenannte effektive, Gleichungen für die Dichte von Vielteilchensystemen hergeleitet werden können und die dabei entstehenden Fehler abgeschätzt werden können, selbst wenn Wechselwirkung der Teilchen von Coulomb- und anderen singulären Kräften bestimmt wird. Dieses wurde sowohl im Rahmen dynamischer Modelle als auch im stationären Falle untersucht. Im dynamischen Falle wurden die führenden Terme identifiziert und eine äquivalente Darstellung der Vielteilchen-Schrödingergleichung durch das Husimimaß hergeleitet. Im stationären Fall konnte über das führende halbklassische Verhalten auch das Verhalten der Dichte in der Nähe des Kerns etabliert werden, das in der Literatur als starke Scottvermutung bekannt ist. Für ein Teilchen, das an einen Fermisee mittels Coulombwechselwirkung gekoppelt ist, wurde gezeigt, dass man im ein- und zweidimensionalen Fall auch ohne Skalierung der Kopplungskonstante effektiv eine freie Dynamik erhält. Für allgemeine Dimensionen konnte im Fall schwacher Kopplung die Gültigkeit einer durch das Fermigas vermittelten effektiven Wechselwirkung bewiesen werden. Dazu gelang die Herleitung der Wlassowgleichung mit für Quantensysteme entwickelten Techniken. durch die Wahl einer passenden Hamiltonsche Formulierung für das System. Schließlich konnten einige Eigenschaften von Lösungen der effektiven Gleichungen hergeleitet werden. So konnte für spezielle Anfangsbedingungen die Existenz einer Lösung der Wlassowgleichung eines wechselwirkenden Coulombsystems gezeigt werden. Für die zeitabhängige Wlassowgleichung und die zeitabhängige Thomas-Fermi-Gleichung von Atomen der Ordnungszahl Z konnte gezeigt werden, daß es keine keine Lösungen gibt, deren Elektronenzahl in einer beliebigen Kugel im zeitlichen Mittelwert 4Z überschreitet. Insbesondere schließt das die Existenz von stationären Lösungen, mit einer Elektronenzahl von mehr als 4Z aus. Im stationären Fall, wurde die starke Scottvermutung für realistische Modelle schwerer Atome bewiesen. Für das relativistische Bohratom (wasserstoffartige Dichte), das Grenzmodell schwerer Atome, konnte der erwartete Mindestabfall der Dichte fernab des Kerns gezeigt werden.
Publications
- The maximal negative ion of the time-dependent Thomas-Fermi and the Vlasov atom. Journal of Mathematical Physics, (2018). 59 (5), 051902
Chen, L., and Siedentop, H.
(See online at https://doi.org/10.1063/1.5026970) - Combined mean field limit and non-relativistic limit of Vlasov–Maxwell particle system to Vlasov–Poisson system. Journal of Mathematical Physics, (2020). 61(6), 061903
Chen, L., Li, X., Pickl, P., and Yin, Q.
(See online at https://doi.org/10.1063/1.5128369) - Combined Mean-Field and Semiclassical Limits of Large Fermionic Systems. Journal of Statistical Physics, (2021) 182:2, 1-41
Chen, L., Lee J. and Liew, M.
(See online at https://doi.org/10.1007/s10955-021-02700-w)
