Approximationsprobleme für Sobolev Homöomorphismen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Sara Daneri, seit 9/2018
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 316940827

Das Hauptziel dieses Projektes ist, Approximationsergebnisse für bi-Sobolev Homöomorphismen in der Ebene zu finden. Dies wird wichtige Folgen für das mathematischen Studium von nichtlinearen Elastizität haben. Tatsächlich ist dies ein seit lang ungelöster Problem in diesem Bereich. Genauer gesagt, sei u ein W^{1,p} Homöomorpismus, mit W^{1,p} Umkehrfunktion, zwischen zwei offenen Mengen in der Ebene; eine solche Funktion modelliert die Verformung eines elastischen, ebenen Gegenstandes von einer externen Kraft verursacht. Man will eine Folge von Diffeomorphismen zwischen den zwei Mengen finden, die gegen u in W^{1,p} konvergiert, und deren Umkehrfunktionen gleichzeitig gegen u^{-1} konvergieren. Der Grund, warum dies Problem nicht trivial ist, ist, dass mit dem normalen Faltung mit einem glättenden Kern die Injektivität leicht verloren wird. Dann, eine verschiedene und originelle Methode ist nötig. In den letzten Jahren haben viele Autoren mitgewirkt, den Problem, ein W^{1,p} Homöomorphismus mit Diffeomorphismen in W^{1,p} zu nähern: das ist eine vereinfachte Version von dem oben beschriebenen Problem, wo keine Eigenschaft über die Umkehrfunktion gesucht ist. Insbesondere, eine der erfolgreichsten Strategien war von dem Bewerber dieses Projektes entwickelt, in einigen Artikeln mit verschiedenen Mitautoren. Diese Methode löst nicht nur den ``vereinfachten Problem'', sondern auch den allgemeinen Problem in dem besonderen Fall p=1. Unsere Hoffnung ist, dass eine weitere Entwicklung von der selben Strategie auch den allgemeinen Problem für p>1 lösen kann. Das ist nicht das einzige Ziel dieses Projektes: es gibt viele verschiedene Approximationsprobleme, die mit dem Hauptproblem irgendwie gebunden sind, und die auch mit verschiedenen Anwendungen derselben Hauptstrategie hoffentlich zu lösen sind. Einige von diesen Problemen scheinen, nicht zu schwierig zu sein, andere sehen mehr kompliziert aus. Diese Multiplizität von Problemen mit verschiedenen Schwierigkeitsgraden sichert ein kleines Risiko über den Erfolg des Projektes. Eine wichtige Zutat für dies Forschungsprojekt werden die Arbeitskräfte sein, die für den Projekt arbeiten werden. Demnach, fast die ganze Subvention ist geplant, um eine Ph.D. Stelle und eine Postdocstelle zu finanzieren. Wir hoffen, diese Stellen an jungen Mathematiker des höchsten Niveau zu geben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Ehemaliger Antragsteller: Professor Aldo Pratelli, Ph.D., bis 8/2018