Thurston-Theorie in der transzendenten Dynamik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das übergeordnete Ziel dieses Antrags war, dynamische Systeme von post-singulär endlichen transzendenten ganzen Funktionen zu unterscheiden und zu klassifizieren. Die Theorie sollte ähnlich entwickelt werden wie die Klassifizierung der post-singulär endlichen Polynome und deren Hubbard-Bäume. Jede solche Klassifizierung kommt in zwei Teilen: von einem gegebenen dynamischen System müssen kombinatorische Invarianten extrahiert werden, um die dynamischen Systeme unterscheiden zu können; und es muss klassifiziert werden, welche Invarianten auftauchen und dann gezeigt werden, dass diese die gegebene Klasse von dynamischen Systemen unterscheiden. In diesem Projekt haben wir auf den extrahieren Teil fokussiert. Unser erstes Resultat ist, dass Hubbard-Bäume streng genommen für viele transzendente ganze Funktionen nicht existieren, vor allem nicht wenn diese asymptotische Werte haben. Insbesondere haben post-singulär endliche Exponentialfunktionen keine Hubbard-Bäume. Daher haben wir das Konzept von Homotopie Hubbard-Bäumen entwickelt. Dieses basiert auf der Beobachtung, dass ein Hubbard-Baum nur bis auf Homotopie relativ zu bestimmten ausgezeichneten Punkten (den post-singulären und Verzweigungs-Punkten) interessant und bedeutsam ist. Die zwei Hauptresultate dieses Antrags sind Existenz und Eindeutigkeit von Homotopie-Hubbard-Bäumen (jede post-singulär endliche transzendente ganze Funktion hat einen eindeutigen Homotopie Hubbard-Baum), und Thurston Eindeutigkeit (verschiedene postsingulär endliche transzendente ganze Funktionen haben verschiedene Homotopie Hubbard-Bäume). Zusammengenommen geben diese zwei Resultate eine sehr umfassende Antwort auf den extrahieren Teil des Antragziels, in größtmöglicher Allgemeinheit: jede post-singulär endliche transzendente ganze Funktion hat eine gute kombinatorische Invariante, die sie von allen anderen solchen Funktionen unterscheidet. (Es kann keine weitere denkbare Verallgemeinerung geben: Die Einschränkung auf post-singulär endliche Funktionen ist selbst für Polynome die Grundlage von Thurstons Resultaten, und die Einschränkung auf ganze Funktionen ist wiederum natürlich, da selbst für nicht-polynomiale rationale Funktionen keine allgemeine Klassifizierung bekannt ist oder vermutet wird, insbesondere nicht über Hubbard-Bäume.) Da wir sogenannte Dreadlocks anstatt dynamische Strahlen für die Konstruktion benutzen konnten, haben wir unsere Erwartungen tatsächlich übertroffen: es ist keine Einschränkung auf eine Unterklasse von post-singulär endlichen transzendenten ganzen Funktionen nötig.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Homotopy Hubbard Trees for Post-Singularly Finite Transcendental Entire Maps. PhD Thesis, Jacobs University Bremen, 2019
David Pfrang
- Dreadlock Pairs and Dynamic Partitions for Post-Singularly Finite Entire Functions
David Pfrang, Sören Petrat, and Dierk Schleicher
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.2109.06863) - Homotopy Hubbard Trees for Post-singularly Finite Exponential Maps. Ergodic Theory and Dynamical Systems, First View, pp. 1–46, 2021
David Pfrang, Michael Rothgang, and Dierk Schleicher
(Siehe online unter https://doi.org/10.1017/etds.2021.103)
