Untersuchung und Nutzung der Zusammenhänge zwischen kohärenten Strukturen und fast invarianten Mengen im Funktionenraum

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Dellnitz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 316205709

Turbulente Superstrukturen haben maßgeblichen Einfluss auf das dynamische Verhalten von Fluiden, zum Beispiel auf den Transport von Masse, Impuls und Energie. Sie stellen einen Spezialfall sogenannter kohärenter Mengen dar, die in der Theorie der dynamischen Systeme untersucht werden. In der Fluiddynamik gibt es grundsätzlich zwei Betrachtungsweisen eines Problems: eine physikalische Sichtweise, die die Bewegung von Punkten im dreidimensionalen Raum beschreibt, und eine abstrakte Perspektive, in der die Entwicklung des Geschwindigkeitsfelds über eine Differentialgleichung in einem bestimmten Funktionenraum dargestellt wird. Die Entwicklung turbulenter Superstrukturen und allgemeiner kohärenter Mengen in Fluiden ist bislang vorwiegend in der ersten Sichtweise untersucht worden. Die Grundidee dieses Projektes ist, die entsprechenden Systeme in der Funktionenraumdarstellung numerisch zu analysieren und damit einen neuen Zugang zur Analyse zahlreicher Probleme in der Entwicklung turbulenter Superstrukturen zu entwickeln. Langfristig erwarten wir, dass sich damit zum Beispiel neue Erkenntnisse zu Phänomenen wie dem El Niño / La Niña-Zyklus im Südpazifik ergeben werden. Zu diesem Zweck entwickeln wir numerische Verfahren zur Bestimmung invarianter und fast invarianter Mengen im Funktionenraum fluiddynamischer Systeme. Dazu werden wir einen mengenorientierten Ansatz, der zunächst für endlich-dimensionale Systeme entwickelt und kürzlich für die Anwendung auf unendlich-dimensionale Systeme erweitert wurde, auf die bei Fluidanwendungen zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen anpassen. Diese Technik wurde bisher erfolgreich auf retardierte Differentialgleichungen angewendet. Für die Anwendung bei partiellen Differentialgleichungen entstehen zusätzliche Fragen, die in diesem Projekt bearbeitet werden. So müssen z. B. für eine Rekonstruktion des Systemverhaltens geeignete Observablen identifiziert werden. Um den bei fluiddynamischen Problemen grundsätzlich hohen Rechenaufwand handhabbar zu halten, müssen für jeden Schritt des Verfahren effiziente algorithmische Realisierungen entwickelt werden. Reduzierte Modelle auf der Basis von Galerkin-Projektion und der Proper Orthogonal Decomposition sowie vom Koopman-Operator abgeleitete Modelle ermöglichen es, die Dynamik bei stark reduzierter Rechenzeit zu approximieren. Um die neuartigen Methoden zur Analyse turbulenter Superstrukturen und ihrer Entstehung einzusetzen, ist es nötig, die Zusammenhänge zwischen (fast) invarianten Mengen im Funktionenraum und kohärenten Mengen im physikalischen Raum detailliert zu untersuchen. Dazu betrachten wir ebenso vereinfachende Modellsysteme wie auch konkrete, teilweise auch experimentell untersuchte fluiddynamische Systeme in Kooperation mit Projektpartnern aus dem Schwerpunktprogramm. Wir erwarten, dass diese Techniken neue Einblicke in die Mechanismen der Entstehung turbulenter Superstrukturen liefern.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1881: Turbulent Superstructures