Numerische Methoden für die Diagnose und Planung von Therapien bei Zerebralparese durch zweistufige Optimalsteuerungsprobleme bei beschränkten biomechanischen Mehrkörpersystemen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Hans Georg Bock; Professorin Dr. Ekaterina Kostina
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 314150787

Dieses Projekt entstand aus der langjährigen Zusammenarbeit mit dem MotionLab der Heidelberger Universitätsklinik. Ziel ist die Entwicklung eines detaillierten mathematischen Modells für den menschlichen Gang und numerischer Methoden zur Lösung inverser und robustifizierter Optimalsteuerungsprobleme (OSP), um die Diagnose und systematische Therapieplanung für Patienten mit Zerebralparese (ZP) zu unterstützen. ZP ist eine Bewegungsstörung, hervorgerufen durch Fehlentwicklung des Gehirns in der frühen Entwicklungsphase, die die Muskelkoordination beeinflusst, zu Knochendeformationen führt und einen charakteristischen Scherengang bewirkt. Als Basismodell wird ein biomechanisches Mehrkörpersystem mit Beschränkungen entwickelt. Als Variationsproblem mit Ungleichungsnebenbedingungen weisen bereits die Differentialgleichungen eine nicht-differenzierbare und sogar unstetige Schaltdynamik vom MPEC-Typ auf. Der Gang des Patienten wird als Lösung eines OSP modelliert, das das Ziel des Patienten abbildet, Kriterien wie Effizienz oder Stabilität zu optimieren. Zwei verschiedene zwei- bzw. mehrstufige OSP - bzw. infinite MPECs - bilden den Kern des Vorhabens. Ein inverses OSP kalibriert das unterliegende Optimalsteuerungsproblem mithilfe von Markerdaten der Patientenbewegung und erzeugt so ein individualisiertes Patientenmodell. Zusammen mit einer Sensitivitätsanalyse ergibt dies wesentlich aussagefähigere Informationen für den Arzt als die Rohdaten. Das individualisierte OSP-Modell lässt sich anschließend für eine systematische Planung - und Optimierung - einer Therapie durch chirurgische Eingriffe oder Physiotherapie einsetzen. Hierfür muss es aber als Worst-Case Optimierung robustifiziert werden um Parameterunsicherheiten und inexakte Realisierung der optimalen Steuerung zu berücksichtigen. Zahlreiche mathematische Herausforderungen müssen bewältigt werden um diese nicht-glatten und komplementaritätsbasierten Probleme effizient zu lösen: effektive Behandlung der mangelnden Constraint Qualifications. Strukturausnutzung bei der Lösung des diskretisierten Mehrstufenproblems und die Erzeugung höherer Ableitungen dazu, neue Strategien zur Globalisierung der Konvergenz, Techniken, um Konvergenz gegen schwache stationäre Lösungen zu vermeiden und eine Sensitivitätsanalyse nicht-glatter Optimalsteuerungsprobleme. Nicht unterschätzt werden darf die Notwendigkeit einer adäquaten Übersetzung der mathematischen Ergebnisse in die Welt des Arztes, z.B. durch Visualisierungswerkzeuge, die sowohl die Diagnose als auch eine systematische Therapieplanung unterstützen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1962: Nichtglatte Systeme und Komplementaritätsprobleme mit verteilten Parametern: Simulation und mehrstufige Optimierung
• Mitverantwortlich: Dr. Johannes Schlöder