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Projekt
Numerische Analysis von rauhen partiellen Differentialgleichungen
Antragsteller
Privatdozent Dr. Christian Bayer; Professor Dr. Raphael Kruse; Privatdozent Dr. John Schoenmakers
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2016 bis 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 277012070
Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung von neuen numerischen Methoden für partielle Differentialgleichungen (PDGen) angetrieben von (deterministischen oder zufälligen) rauhen Pfaden. Während die numerische Analyse stochastischer PDGen, getrieben von einer endlich- oder unendlich-dimensionalen Brownschen Bewegung (bzw. von weißem Rauschen), ein mittlerweile etabliertes Gebiet ist, ist über die Numerik partieller Differentialgleichungen, die von allgemeinen rauhen Pfaden getrieben werden, vergleichsweise wenig bekannt. Selbst im Falle der theoretisch recht gut verstandenen rauhen gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es weiterhin viele offene Fragen. Dieses Projekt basiert auf der Beobachtung, dass einige der für die theoretische Analyse von rauhen PDGen vorgeschlagenen Techniken auch für ihre numerische Lösung geeignet sind. Hierbei konzentrieren wir uns auf die Entwicklung von zwei verschiedenen Klassen von numerischen Verfahren. Die Erste basiert auf der Anwendung von analytischen Halbgruppen zur theoretischen Analyse von rauhen PDGen und ihre Diskretisierung durch Galerkin- und Finite-Elemente-Methoden. Die zweite Methode baut auf Feynman-Kac Darstellungen sowie der numerischen Approximation der zugrundeliegenden stochastischen DGen auf, verbunden mit einer räumlichen Auflösung durch Regression. Beide Techniken wurden in der Vergangenheit verwendet, um bestimmten Klassen von rauhen PDGen einen Sinn zu geben, siehe Deya-Gubinelli-Tindel (2012) oder Friz-Hairer (2014, Kapitel 12). In diesem Projekt entwickeln wir diese Ansätze zu implementierbaren numerischen Methoden weiter und untersuchen ihre Konvergenz- und Komplexitätseigenschaften.
DFG-Verfahren
Forschungsgruppen
