Facettenideale, Polymatroide und symbolische Potenzalgebren
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im Verlaufe des Projekts habe ich mich mit Fragen der kombinatorischen kommutativen Algebra beschäftigt, wie im Forschungsvorhaben angekündigt. Dabei haben sich meine Interessen allerdings mehr in Richtung Stanley Zerlegungen verlagert. Zunächst wurden als Verallgemeinerung von Facettenideale von Bäumen, monomiale Ideale vom sogenannten "forest type" und deren homologische Eigenschaften studiert und es wird gezeigt, dass diese Klasse von Idealen im Sinne von Herzog-Popescu "pretty clean" sind. Dies führt direkt zu Stanley Zerlegungen, denn Ideale dieses Typs besitzen Stanley Zerlegungen, deren Stanley Tiefe durch ihre homologische Tiefe nach unten abgeschätzt wird. Solche Ideale genügen daher der Stanley Vermutung, einer Vermutung, die bislang nur in wenigen Spezialfällen gelöst ist. Wir geben einen Algorithmus an, der es gestattet die Stanley Tiefe eines monomialen Ideals in endlich vielen Schritten zu berechnen. Für allgemeine multigraduierte Moduln ist dieses Problem nach wie vor offen. Schließlich wird gezeigt, dass die Staney Vermutung für alle Restklassenringe nach einem monomialen Ideal bereits dann folgt, wenn dies für Cohen-Macaulay Ringe dieser Art gilt.
