Geradenbündel über nichtkommutativen algebraischen und arithmetischen Flächen

• Antragsteller: Dr. Fabian Reede
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 272768204

Ziel dieses Projektes ist das Studium von nichtkommutativen algebraischen und arithmetischen Flächen sowie den Geradenbündlen über diesen Flächen. In dieser Situation sind die nichtkommutativen Flächen definiert durch Azumaya-Algebren. Im algebraischen Fall sind diese Flächen nichtkommutative Analoga von klassischen geometrischen Objekten, zum Beispiel von K3-Flächen. Sie besitzen viele ähnliche Eigenschaften wie klassische kommutative Flächen. Zum Beispiel werden auch hier die Geradenbündel durch einen projektiven Modulraum klassifiziert. Dieser Raum entspricht dem klassischen Picard-Schema. Es sollen diverse Eigenschaften der Flächen sowie der Modulräume studiert werden. Zum Beispiel soll die Serre-Dualität auf diesen Flächen untersucht werden. Diese hilft dann bei Fragen wie zum Beispiel der Glattheit oder der Deformationstheorie der Modulräume. Weiterhin soll die symplektische Struktur der Modulräume in gewissen Situationen untersucht werden. In der arithmetischen Situation sollen die nichtkommutativen Flächen und Geradenbündel darüber mit Hilfe der Arakelov Geometrie untersucht werden. Arakelov Geometrie ist eine Mischung aus klassischer algebraischer Geometrie und komplexer Differentialgeometrie. Hier stellt sich vorallem die Frage, wie man das Arakelov-Schnittprodukt auf die nichtkommutative Situation übertragen kann. Eine weitere Frage in dieser Situation ist, welche Bedeutung man der Torsion in den Kohomologiegruppen zuweisen kann.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Irland
• Gastgeber: Privatdozent Dr. Norbert Hoffmann