Entwicklung einer Finite-Element-Formulierung zur effizienten Beschreibung von Lokalisierungsphänomenen in nanostrukturierten Materialien
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Der Formalismus der Finite-Element-Methode kann ausgenutzt werden um Problemstellungen in der Molekularmechanik numerisch effizient zu lösen. Basierend auf einer atom-bezogenen Betrachtung der atomaren Interaktionen konnte ein direkter Zusammenhang zwischen dem Typ des zugrunde liegenden interatomaren Potentials und dem Design des zugehörigen finiten Elementes hergestellt werden. Für jeden Potentialtyp existiert ein spezifischer Typ von finitem Element. In der Arbeit wurde eine generalisierte Formulierung vorgestellt, die die unterschiedlichen Elementtypen vereinigt. Dabei können beliebige Potentiale bestehend aus Diagonal- und Kreuztermen berücksichtigt werden, die von den folgenden atomaren Kinematen abhängen: bond length, valence angle, dihedral angle, improper dihedral angle und inversion angle. Die entwickelten finiten Elemente basieren auf einer geometrisch exakten Betrachtung. Alle notwendigen Elementmatrizen werden analytisch hergeleitet und explizit angegeben. Aufgrund des a priori nichtlokalen Charakters der Interaktionsbeziehungen zwischen den einzelnen Atomen können zur Erstellung des Elementnetzes (Elementdiskretisierung) keine Standardprozeduren eingesetzt werden. Anders als in der konventionellen Finite Element-Methode ist hier, für eine gegebene atomare Struktur und dem zugrunde liegenden Interaktionspotential, das Elementnetz eindeutig bestimmt. Die Art und Weise wie in der Arbeit die interatomaren Wechselwirkungen auf Elementebene berücksichtigt werden, ermöglicht den Einsatz der aus der Molekulardynamik bereits bekannten und bewährten Verfahren der Nachbarschaftslisten, die letztendlich die für die FEM benötigten Element-Knoten-Beziehung liefert. Ungeachtet der Tatsache, daß aneinander angrenzende finite Elemente sich überlappen, wird in der Formulierung eine Doppelzählung der Elementbeiträge (als Folge des Prozesses der Assemblierung) a priori verhindert. Als direkte Folge vereinfacht sich der Assemblierungsprozeß dahingehend, daß lediglich eine zeilenweise Zuordnung der Elementbeiträge innerhalb der globalen Systemsteifigkeitsmatrix notwendig ist. Der Einsatz von Standardverfahren bestehender FE-Codes ist ebenfalls möglich. Das entwickelte Verfahren kann – unter Verwendung einer Standard Elementschnittstelle – leicht in bestehende FE-Codes implementiert werden. Folglich können existierende Programmtools (z.B. Gleichungslöser, Visualisierung der numerischen Ergebnisse) verwendet werden. Die entwickelte FE-Formulierung kann universell auf beliebige Potentialtypen angewendet werden. Im Rahmen des Forschungsprojektes wurde es auf unterschiedliche Potentiale, die üblicherweise bei der Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Kohlenstoff-Nanoröhrchen eingesetzt werden, angewendet. Die Effizienz und Robustheit des entwickelten Verfahrens wurde anhand von verschiedenen numerischen Beispielen demonstriert. Die bisherigen Forschungsergebnisse können als Basis künftiger Forschungsarbeiten dienen. Ein möglicher Forschungsschwerpunkt könnte die Erweiterung der vorgestellten Finite-Element Formulierung vom quasi-statischen auf den dynamischen Fall sein, inkl. der Berücksichtigung von thermischen Effekte. Ziel dieses Forschungsschwerpunktes wäre dann die FE-Simulation von dynamischen Prozessen in Nanostrukturen, wie beispielsweise das Entstehen und Trennen interatomarer Verbindungen (bond making und bond breaking). Ein anderer Forschungsschwerpunkt könnte das Einbetten der entwickelten Finite-Element- Formulierung in das Konzept eines parallelen Mehrskalenmodells darstellen. Die Tatsache, daß das entwickelte atomistische Moo dell sich bereits dem Formalismus der Finite-Element-Methode bedient, könnte dabei gewinnbringend ausgenutzt werden. Ziel dieser Forschungsaktivitäten wäre dann die FE-Simulation von Versagenszuständen in makroskopischen Strukturen bei paralleler Zuhilfenahme eines atomistischen Modells für den lokalisierten Bereich.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Numerische Methoden zur Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Nanostrukturen. Reihe ’Seminar für Mechanik und Numerische Mathematik’, Universität Duisburg-Essen
Wackerfuß J.
