Impulskontrollprobleme und adaptive numerische Lösung von Quasivariationsungleichungen in Markovschen Faktormodellen

• Antragsteller: Professor Dr. Roland Herzog; Professor Dr. Thorsten Schmidt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 265374484

Impulskontrollprobleme sind allgegenwärtig im Handeln auf Finanzmärkten. Beispiele sind etwa Portfoliooptimierungsaufgaben unter Transaktionskosten. Die mathematische Beschreibung dieser Probleme führt auf Quasivariationsungleichungen, welche in der Regel keine analytische Lösung erlauben. Die bisher etablierten numerischen Verfahren hingegen nutzen praktisch keine adaptiven Techniken. Adaptive Diskretisierungstechniken ermöglichen jedoch erst die effektive und genaue Bestimmung optimaler Handelsstrategien. In diesem Projekt werden einerseits adaptive Verfahren entwickelt und mit effektiven vorkonditionierten Lösern kombiniert, um einen effizienten Gesamtalgorithmus zur Lösung von (Integro)-Quasivariationsungleichungen, wie sie in Märkten mit Sprüngen auftreten, zu erhalten. Andererseits verlangt die aktuelle Entwicklung auf den Finanzmärkten, wie z.B. die Kreditkrise und die europäische Finanzkrise, die Berücksichtigung von zunehmenden Kreditrisiken und somit die Weiterentwicklung existierender Modelle. Ein geeignetes Mittel hierfür sind Markovsche Faktormodelle, welche eine niedrig-dimensionale Darstellung komplexer Bewegungen auf den Finanzmärkten erlauben. Die hierdurch neu entstehenden Fragestellungen etwa in der Portfoliooptimierung werden im Rahmen des Projekts als Impulskontrollprobleme formuliert und analysiert. Diese werden zwingend nach denjenigen effizienten adaptiven numerischen Methoden verlangen, die ebenfalls im Projekt entwickelt werden. Schließlich wird der Notwendigkeit Rechnung getragen, dass in der praktischen Anwendung der Verfahren Modellparameter anhand von historischen Marktdaten geschätzt werden müssen. Hierzu werden Verfahren weiterentwickelt, die mit der am Markt vorhandenen unvollständigen Information arbeiten. Die oben erwähnten Vorgehensweisen werden unter dem Aspekt der unvollständigen Information betrachtet und die resultierenden Aufgabenstellungen mit geeigneten numerischen Methoden bearbeitet, um die praktische Anwendbarkeit zu erreichen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen