Optimale Einschlüsse bei Multi-Material-Strukturen durch Änderung von Form und Topologie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Zu Beginn der zweiten Projektphase mußten nach einer unabhängigen Betrachtung der Ergebnisse der ersten Phase bisher tolerierte Ungenauigkeiten nachhaltig korrigiert werden. Dieses führte zu einer alternativen Formulierung der XFEM, die unter dem Arbeitsnamen YFEM das wesentliche Ergebnis darstellt. Im Rahmen der zweiten Antragsperiode wurde eine modifizierte erweitere Finite Elemente Methode entwickelt, die den Arbeitsnamen YFEM anstatt XFEM trägt. Analog zum Alphabet, bei dem ’Y’ nach ’X’ kommt, soll die YFEM eine inkrementelle Verbesserung der XFEM sein, die jedoch signifikant bessere Eigenschaften besitzt. Die wesentlichen Eigenschaften werden hervorgehoben. Der Aufbau der YFEM folgt dem bekannten Aufbau der XFEM in (fast) allen Punkten. Wesentlicher Unterschied besteht darin, dass in der YFEM dieser erweiterte Ansatz nicht mehr in die schwache Form eingesetzt und über die Subgebiete integriert wird. Anstattdessen wird die folgende Makroelement-Subelement-Kondensation eingeführt. Der erweiterter XFEM-Ansatz auf dem Makroelement (das geschnittene Element) definiert die Verschiebungen in den Eckpunkten der Subintegrationsgebiete. Diese Subgebiete werden als gewöhnliche Elemente (Subelemente) betrachtet und die zugehörigen Elementgrößen (Residuumvektor, Steifigkeitsmatrix sowie Pseudolastmatrix) werden durch Auswertung der schwachen Form für ungeschnittene Standardelemente ermittelt. Die Beziehungen zwischen den Koordinaten bzw. Unbekannten des Makroelementes (angereichertes XFEM-Element) und den Koordinaten bzw. Unbekannten der Subelemente (Knotenwerte der Eckpunkte der Subgebiete) dienen als Grundlage zur Kondensation der Verschiebungsfreiheitsgrade und der weiteren XFEM-Freiheitsgrade für die Steifigkeitsmatrix sowie der Knotenkoordinaten und der Knotenwerte der Levelsetfunktion fü die Pseudolastmatrix. Die resultierenden Makroelementgrößen werden in gewohnter Form der XFEM in die globalen Vektoren und Matrizen eingebaut. Die hier beschriebene YFEM-Technik ist durch die folgenden Vorteile gegenüber der XFEM ausgezeichnet. Die Elementgrößen der Subelemente können aus den vorhandenen Elementbibliotheken entnommen werden. Damit entfällt eine erneute Auswertung der schwachen Formen und ihrer Linearisierungen. Diese Eigenschaft ist insbesondere für komplexe Elementformulierungen für geometrisch und materiell nichtlineare Problemstellungen bedeutsam. Die Kondensation der Subelementbeiträge auf dem Makroelement kann für ganze Klassen von Elementtypen ggfs. auch parametrisiert organisiert werden. Ein Mehraufwand für einzelne Elementformulierungen innerhalb der Klassen tritt nicht auf. Es können Hintergrundnetze mit beliebiger geometrischer Form der Elemente verwendet werden. Es können gleichzeitig Veränderungen und Sensitivitäten der geometrische Form des Gebietes als auch der Form der Grenzkurven betrachtet werden. Insgesamt ist die YFEM-Technik sehr modular aufgebaut und eignet sich daher ausgezeichnet für eine strukturierte Erweiterung. Hierbei wird die Fehlerkontrolle bei der Entwicklung stark vereinfacht. Die genannten Vorteile gehen weit über die Notwendigkeiten der Sensitivitätsanalyse hinaus.
