Lange Zykel räumlicher zufälliger Permutationen: Länge, Geometrie und Dynamik

• Antragsteller: Professor Dr. Volker Betz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 255533188

Zufällige Räumliche Permutationen (ZRP) sind ein Modell der statistischen Mechanik: auf einer endlichen Menge mit Abstandsbegriff wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den Permutationen dieser Menge festgelegt, welches Permutationen bevorzugt, die nahe gelegne Punkte aufeinander abbilden. Das Modell besitzt einen Parameter, der festlegt, wie stark diese Bevorzugung ausgeprägt ist. Eigenschaften des Modells werden dann im Grenzwert unendlich großer Mengen untersucht. ZRP haben Anknüpfungspunkte zu vielen aktuell relevanten Gebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Physik, beispielsweise zu Bose-Einstein-Kondenstation, zu Perkolation und zur Theorie der Schramm-Löwner-Evolution. Die wichtigste Eigenschaft des Modells ist ein Phasenübergang: ist die Präferenz für Permutationen, die nahe benachbarte Punkte aufeinander abbilden, nur schwach, so existieren Zykel deren Länge vergleichbar mit der Mächtigkeit der Grundmenge ist; für starke Präferenz existieren diese Zykel nicht. Die Existenz dieses Phasenüberganges ist bisher nur in wenigen speziellen Variationen von ZRP bekannt ist, für die meisten (und wichtigsten) Varianten von ZRP wurde sie nur numerisch überprüft.In der ersten Antragsperiode wurde vom von der DFG geförderten Postdoc Lorenzo Taggi und mir ein neues und sehr vielversprechendes Werkzeug zur Untersuchung von ZRP entwickelt. Es handelt sich um eine spezielle Kopplungsmethode, die eine räumliche Markov-Eigenschaft des Modells nutzt und es insbesondere erlaubt, in gewissen parameterbereichen exponentiellen Abfall der Korrelationen zu beweisen. Diese in Modellen der statistischen Mechanik elementare und sehr wichtige Eigenschaft konnte für ZRP zuvor nicht bewiesen werden, da spezielle langreichweitige Wechselwirkungen die Verwendung klassischer Beweismethoden verhinderten. Im relevanten paper wurde die Kopplungsmethode dazu verwendet, die Geometrie erzwungener langer Zykel in Regimes ohne natürlich vorkommende lange Zykel zu untersuchen. Das Potential der Methode ist jedoch viel größer, und das Ziel der beantragten Verlängerung ist eine systematische Untersuchung und Anwendung der Methode. Insbesondere scheint es möglich, exponentiellen Abfall gewisser spezieller Korrelationen sogar noch in Regimes zu zeigen, wo wir lange Zykel vermuten, oder sogar mittels geeigneter Modifikationen der Methode die Existenz langer Zykel zu beweisen. Letzteres ist das herausragende Ziel der gesamten Forschung über ZRP. Aufgrund des großen Potentials der Kopplungsmethode werden die anderen im ursprünglichen Antrag formulierten Ziele, soweit noch nicht erreicht, zurückgestellt. Sie stellen jedoch immer noch interessante alternative Forschungsrichtungen dar, auf die bei Bedarf zurückgegriffen werden kann.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen