Geometrische und analytische Zahlentheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Valentin Blomer; Professor Dr. Jörg Brüdern; Professor Dr. Ulrich Derenthal
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 255083470

Die Untersuchung ganzer Zahlen war und ist ein Kerngeschäft der Mathematik. Insbesondere Eigenschaften von Primzahlen und ganzzahlige Lösungen polynomineller Gleichungen haben seit Jahrtausenden das Interesse der Mathematiker geweckt. Die moderne Mathematik verbindet diese Gebiete mit einer Vielzahl anderer Forschungsbereiche.Das beantragte Projekt betrifft drei der wichtigsten und aktivsten Gebiete der modernen analytischen Zahlentheorie, die vielfach vernetzt sind. Allen drei gemein ist eine starke Verbindung zur Geometrie, die sowohl Theorie und Werkzeuge bereitstellen kann als auch andererseits als Intuitions- und Ideengeber fungieren kann. Die Bewerber haben ihre Expertise und ihre fruchtbare Zusammenarbeit bereits in der vergangenen Förderperiode unter Beweis gestellt.Das erste Thema ist die Theorie der Spurfunktionen über endlichen Körpern und deren Anwendungen. Das ist einer der überzeugendsten Schnittpunkte von algebraischer Geometrie und analytischer Zahlentheorie, bei dem Delignes allgemeine Form der Riemann-Vermutung über endlichen Körpern ihre volle Kraft entfalten kann. Unabhängig davon sind Spurfunktionen auch um ihrer selbst willen interessante Objekte, deren Theorie lohnenswert ist, insbesondere im Hinblick auf statistische Resultate. In diesem Projekt soll die Theorie der Spurfunktionen in allen Richtungen betrachtet werden.Das zweite Thema beschäftigt sich mit dem klassischen Thema diophantischer Gleichungen. Hat eine Gleichung viele Lösungen, können diese gezählt werden und ihre Verteilung untersucht werden. Weitreichende Vermutungen diesbezüglich wurden in den 1980er Jahren von Manin und seinen Mitarbeitern aufgestellt, die einen engen Bezug zur algebraischen Geometrie herstellen. Unser Projekt soll zum einen neue Klassen diophantischer Gleichungen untersuchen und zum anderen neue Werkzeuge zur Verfügung stellen, um diophantische Probleme zu lösen.Das dritte Thema hat automorphe Formen und ihre L-Funktionen im Fokus, insbesondere aus analytischer Sicht. Automorphe Formen bilden einen Eckstein moderner analytischer Zahlentheorie seit den 1960er Jahren, als R. Langlands den heute unter dem Namen "Langlands-Programm" bekannte Rahmen entwickelt hat. Ernsthafte Untersuchungen automorpher L-Funktionen begann in den 1990er Jahren. Die momentanen Entwicklungen, in die sich unser Projekt einreiht, beschäftigen sich insbesondere mit den mächtigen Techniken, die zum Studium automorpher Formen in höherem Rang herangezogen werden, und mit der systematischen Untersuchung statistischer Eigenschaften in Familien von L-Funktionen. Die vielfältigen Beziehungen zwischen den drei Projekten manifestieren sich nicht nur in direkten Verbindungen, etwa durch Anwendungen von Spurfunktionen auf die Kreismethode oder automorphe Formen, sondern for allem in grundlegenden methodischen Eigenschaften, die im Zentrum der Forschung aller Antragssteller liegen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Emmanuel Kowalski; Professor Dr. Philippe Michel