Analytische und Reidemeister Torsion für nicht kompakte lokal symmetrische Räume

• Antragsteller: Dr. Jonathan Pfaff
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 250392313

Eine neue Entwicklung auf dem Gebiet der Zahlentheorie basiert auf der Einsicht, dass die kohomologische Torsion arithmetischer Gruppen Galoisdarstellungen über endlichen Körpern entsprechen soll. Weil solche Darstellungen in der Zahlentheorie von entscheidendem Interesse sind, hat damit die Frage nach der Existenz von kohomologischer Torsion eine große Bedeutung. Diese Frage ist üblicherweise in einem asymptotischen Sinne gemeint. Für kokompakte Gruppen sind in verschiedenen Fällen Ergebnisse über das asymptotische Verhalten der kohomologischen Torsion erzielt worden. Viele arithmetische Gruppen sind jedoch nicht kokompakt. Das gilt sogar für diejenigen Gruppen, welche am natürlichsten auftreten und welche aus der Perspektive der Galoisdarstellungen am interessantesten sind, etwa Hauptkongruenzuntergruppen über den ganzen Zahlen. Für solche Gruppen ist die Frage nach der Existenz und Größe der kohomologischen Torsion im Allgemeinen offen. Das Hauptziel meines Forschungsvorhabens ist es nun, zu zeigen, dass auch für arithmetische Gruppen, welche nicht kokompakt sind, die kohomologische Torsion exponentiell wächst. Als genaue quantitative Aussage möchte ich den Hauptterm in diesem asymptotischen Wachstum mit der zugehörigen L2-Torsion identifizieren, deren asymptotisches Verhalten bereits bekannt ist. Um diese Ziele zu erreichen, möchte ich die analytische Torsion nicht kompakter lokal symmetrischer Räume endlichen Volumens untersuchen, insbesondere ihre Beziehung zur Reidemeister Torsion sowie einige ihrer grundsätzlichen Eigenschaften im Fall höheren Ranges. Die Hauptmethode meiner Forschung soll in der Anwendung von Techniken der Geometrischen Analysis auf nicht kompakten und singulären Mannigfaltigkeiten liegen, welche insbesondere von Professor Rafe Mazzeo aus Stanford entwickelt wurden. Da diese Techniken für sehr allgemeine Situationen entwickelt wurden, sind sie meiner Meinung nach auch auf die verschiedenen Deformationen der analytischen und geometrischen Struktur anwendbar, welche ich in meinem Beweis an mehreren Punkten verwenden möchte. Darüber hinaus soll das Vorgehen, Methoden der Geometrischen Analysis auf den Fall lokal symmetrischer Räume anzuwenden, auch die Grundlage weiterer Forschungsvorhaben außerhalb dieses Antrags bilden. Ich möchte insbesondere mein Ziel erwähnen, das stetige Spektrum des Laplaceoperators für lokal symmetrische Räume vom höheren Rang mit Methoden der geometrischen Streutheorie zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Rafe Mazzeo