Splines komplexer Ordnung, fraktionelle Operatoren und Anwendungen in der Signal- und Bildverarbeitung

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Brigitte Forster-Heinlein; Privatdozent Peter Massopust, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 246954628

Die Schoenberg-Splines haben in einer großen Breite mathematischer Gebiete Einzug gefunden, z.B. in der Signalanalyse, der Computer-Graphik, der geometrischen Modellierung (CAGD), der Numerik partieller Differentialgleichungen usf. Sie sind mit ihren Parametern flexibel auf die Aufgabenstellungen anpassbar und aufgrund ihrer simplen Form leicht implementierbar - Eigenschaften, die für eine erfolgreiche Anwendung unverzichtbar sind. Zusätzlich erleichtern sie die Interpretation der numerischen Ergebnisse, weil die Splines stückweise Polynome sind. In den letzten Jahren wurden fraktionelle und komplexe B-Splines definiert, die aufgrund zusätzlicher Parameter noch weitaus anpassungsfähiger sind: Der kontinuierliche Ordnungsparameter erlaubt die genaue Justierung auf die Regularität des Problems, der komplexe Grad ermöglicht die Extraktion von Phase und Amplitude, und öffnet die Tür zu neuen mathematischen Querverbindungen: Von fraktionellen Differentialoperatoren, über Dirichlet-Mittel, Riesz-Transformation und Phase in höheren Dimensionen, bis hin zu Operatoren zur Krümmungsdetektion in Bilddaten.Für die konkreten Anwendungen fehlen bisher noch die vollständige theoretische und numerische Analyse der Approximationseigenschaften jener Räume, die von Splines komplexer Ordnung aufgespannt werden. Wir wollen diese Lücke schließen und eine umfassende Analyse komplexer Splines bereit stellen. Dabei legen wir sowohl auf die theoretischen Ergebnisse und die numerische Analyse, als auch auf die algorithmische Umsetzung Wert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen