Die Galoiswirkung auf motivischen Zetafunktionen

• Antragstellerin: Dr. Annabelle Hartmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 244578707

Igusas Monodromievermutung zufolge gibt es eine Verbindung zwischen den Polen der p-adischen Zetafunktion eines Polynoms f und den Eigenwerten der Monodromiewirkung auf der singulären Kohomologie der Milnorfaser von f. Dies ist eine recht überraschende Vermutung, denn das erste Objekt steht in Verbindung mit der Anzahl der Lösungen von f, wohingegen das zweite mit der Topologie der komplexen Singularitäten von f zu tun hat. Das bedeutet, dass die Vermutung eine Verbindung zwischen den Gebieten der arithmetischen und der komplexen Geometrie herstellt. Die motivische Monodromievermutung verallgemeinert die Vermutung von Igusa, indem sie die p-adische Zetafunktion durch Denef und Loesers motivische Zetafunktion ersetzt. 2007 haben Loeser und Nicaise gezeigt, dass die motivische Zetafunktion mit Hilfe einer Mellintransformation der lokalen singulären Reihe zurück zu gewinnen ist. Diese Reihe ist definiert mit Hilfe von Integralen in der Kategorie der formalen und rigiden Geometrie. Nun lässt sich auf der motivischen Zetafunktion die Wirkung einer Galoisgruppe definieren, die man nutzen kann, um die Monodromiewirkung zurückzugewinnen. Solch eine Wirkung lässt sich auch für die lokale singuläre Reihe definieren. Das Ziel des beantragten Projektes ist diese Wirkung zu untersuchen. Insbesondere soll gezeigt werden, dass sie wohldefiniert ist und mit der Wirkung auf Loeser und Denefs motivischer Zetafunktion übereinstimmt. Es wird erwartet, dass sich aus dieser Untersuchung Anwendungen die Monodromievermutung betreffend ergeben werden. Geplant ist solche Anwendungen im Rahmen des Projektes zu finden. Insbesondere soll ein Artikel von Halle und Nicaise, der sich mit der Monodromievermutung für abelsche Varietäten befasst, untersucht und mit Hilfe der erarbeiteten Wirkung auf der lokalen singulären Reihe verallgemeinert werden.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Belgien
• Beteiligte Institution: Katholieke Universiteit Leuven ; Department of Mathematics
• Gastgeber: Professor Dr. Johannes Nicaise