Spiegelsymmetrie und Irreguläre Singularitäten in der Physik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Meromorphe Differentialgleichungssysteme treten auf natürliche Weise in der algebraischen Geometrie und der mathematischen Physik auf, und insbesondere in der Spiegelsymmetrie, welche diese beiden Gebiete verbindet. Solche Differentialgleichungssysteme haben spezielle Eigenschaften, für deren Studium verschiedene Aspekte betrachtet werden müssen. Als erstes zu nennen ist ihre Monodromie, die in vielen konkreten Fällen ganzzahlig ist, aber in abstrakteren Fällen nur über Q oder einem algebraischen Zahlkörper oder R definiert ist. Betrachtet man das meromorphe Differentialgleichungssystem als einen D-Modul, dann erweitert sich diese Frage zu dem Problem, ob dessen (derivierte) Lösungen über einem echten Unterkörper der komplexen Zahlen definiert werden können (dies wird als „Betti-Struktur” bezeichnet). Andere Aspekte des Studiums solcher Differentialgleichungssysteme sind die Untersuchung von irregulären Singularitäten oder von (gemischten) Hodgestrukturen, welche in vielen Beispielen, die aus der Geometrie stammen, existieren. Im Projekt wurde die ganzzahlige Monodromie des Gauß-Manin-Zusammenhangs von invertierbaren Polynomen studiert und eine alte Vermutung über sie von Orlik bewiesen. Zusammen mit einem zusätzlichen Resultat über die Orlik-Blocke, die als Bausteine auftreten, erlaubt das, die Automorphismen dieser Systeme zu verstehen. Ein weiteres wesentliches Thema des Projektes war die Untersuchung hypergeometrischer Differentialgleichungen (GKZ-Systeme) sowie von Verallgemeinerungen dieser. In der Spiegelsymmetrie spielen sowohl invertierbare Polynome als auch GKZ-Systeme eine zentrale Rolle. Es wurden für gewisse eindimensionale hypergeometrische Systeme Kriterien für die Existenz von Betti-Strukturen gefunden. Es wurden des Weiteren tautologische Systeme untersucht (dies sind natürliche Verallgemeinerungen von GKZ-Systemen, welche entstehen, wenn man Toruswirkungen durch Wirkungen allgemeinerer algebraischer Gruppen ersetzt). Es wurde bewiesen, dass diese gemischten Hodgemoduln unterliegen, und als Anwendung davon konnte das holonome Rang-Problem (gestellt und studiert von Yau und Ko-Autoren) in voller Allgemeinheit gelöst werden. Schließlich wurden eine weitere Verallgemeinerung von GKZ-Systemen, welche durch Charaktergruppen mit nicht-verschwindendem Torsionsanteil entstehen, untersucht. Diese treten vor allem bei der Untersuchung von Spiegelsymmetrie für Orbifolds auf.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Algebraic aspects of hypergeometric differential equations. Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry, 62(1), 137-203.
Reichelt, Thomas; Schulze, Mathias; Sevenheck, Christian & Walther, Uli
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Betti Structures of Hypergeometric Equations. International Mathematics Research Notices, 2023(12), 10641-10701.
Barco, Davide; Hien, Marco; Hohl, Andreas & Sevenheck, Christian
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The combinatorics of weight systems and characteristic polynomials of isolated quasihomogeneous singularities. Journal of Algebraic Combinatorics, 56(3), 929-954.
Hertling, Claus & Mase, Makiko
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The integral monodromy of isolated quasihomogeneous singularities. Algebra & Number Theory, 16(4), 955-1024.
Hertling, Claus & Mase, Makiko
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The integral monodromy of the cycle type singularities. Journal of Singularities, 25(2022).
Hertling, Claus & Mase, Makiko
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“Tautological systems, homogeneous spaces and the holonomic rank problem”, arXiv:2211.05356, 57 pages
Gorlach, Paul; Reichelt, Thomas; Steiner, Avi; Sevenheck, Christian & Uli, Walther
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A note on simple K3 singularities and families of weighted K3 surfaces. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2, 73(1), 19-44.
Mase, Makiko
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“Hypergeometric systems from groups with torsion”, arXiv:2402.00762, 16 pages
Reichelt, Thomas; Sevenheck, Christian & Walther, Uli
