Spiegelsymmetrie und Irreguläre Singularitäten in der Physik

• Antragsteller: Professor Dr. Claus Hertling; Professor Dr. Christian Sevenheck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 242588615

Das Ziel dieses Projektes ist es, das Zusammenspiel von Spiegelsymmetrie und Singularitäten von linearen Differentialgleichungen in beliebigen Dimensionen zu untersuchen. Die folgenden Themen sollen sowohl separat als auch in ihren Zusammenhängen studiert werden.-Spiegelsymmetrie als ein effizientes Hilfsmittel zur Bestimmung von Gromov-Witten-Invarianten von glatten algebraischen Varietäten oder Orbifolds,-Irreguläre Singularitäten von linearen Differentialgleichungssystemen in beliebiger Dimension, sowohl als holonome D-Moduln als auch als isomonodromische Deformationen,- Hodge-theoretische Aspekte solcher Differentialgleichungssysteme.Ein besonderer Aspekt dieses Projektes besteht darin, dass Ergebnisse erreicht werden sollen durch das Zusammenspiel dieser Themen. Es werden verschiedene Methoden (algebraische Geometrie, (nicht-kommutative) Hodgetheorie, Singularitätentheorie und D-Moduln, symplektische Geometrie) eingesetzt, wobei Motivationen und Vermutungen, die aus dem physikalischen Hintergrund des Projektes entspringen, besondere Beachtung finden.Ein zentraler Untersuchungsgegenstand werden die verallgemeinerten hypergeometrischen Systeme linearer Differentialgleichungen (GKZ-Systeme) sein, welche ein Modell für den Quanten-D-Modul von torischen Mannigfaltigkeiten oder Orbifaltigkeiten liefern. Diese GKZ-Systeme sind auch eine wichtige Beispielklasse für holonome D-Moduln mit irregulären Singularitäten, an denen Vermutungen überprüft werden können.Das Verständnis der Geometrie von verschiedenen Arten von Modulräumen, wie z.B. von Zusammenhängen, isolierten Hyperflächensingularitäten von Kurven und allgemeiner von stabilen Abbildungen (durch welche die Gromov-Witten-Invarianten erst definiert werden) sowie von meromorphen Zusammenhängen ist die wichtigste Motivation für das gesamte Projekt. Die zuerst genannten Modulräume sind von grundlegender Bedeutung für die Spiegelsymmetrie, und ein Teilprojekt besteht darin, Spiegelsymmetrie für Modulräume von irregulären Zusammenhängen auf Riemannschen Flächen zu entwickeln.Fragen, welche mit dem Stokes-Phänomen, eine grundlegende Eigenschaft irregulärer Differentialgleichungssysteme, zusammenhängen, sollen sowohl in der Gromov-Witten-Theorie als auch für Landau-Ginzburg-Modelle und darüber hinaus in der Singularitätentheorie untersucht werden. Der Zusammenhang zu hodgetheoretischen Eigenschaften (insbesondere die nicht-kommutativen Aspekte) soll zur Untersuchung von Modulräumen von Singularitäten benutzt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Michael Dettweiler; Professor Dr. Marco Hien; Privatdozent Dr. Thomas Reichelt
• Kooperationspartner: Professor Dr. Claude Sabbah