Dimension multivariater selbstähnlicher Prozesse

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Kern
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 242360936

Selbstähnliche stochastische Prozesse zeichnen sich durch Verteilungsinvarianz unter Raum-Zeit-Transformationen aus. In vielen Wissenschaften sind diese Prozesse ein wichtiges Instrument zur Modellierung zufälligen dynamischen Verhaltens mit Selbstähnlichkeitseigenschaften. Bei multivariaten selbstähnlichen Prozessen bietet räumliche Skalierung mittels linearer Operatoren eine größtmögliche Flexibilität. Für selbstähnliche Zufallsfelder kann zusätzlich eine Skalierung mittels linearer Operatoren im Zeitbereich erfolgen. Die Skalierungsoperatoren werden dabei durch einen sogenannten Exponenten charakterisiert, welcher ebenfalls ein linearer Operator ist. Das Forschungsprojekt widmet sich Dimensionsresultaten für operator selbstähnliche Prozesse und operator selbstähnliche Zufallsfelder. Als wesentliche Verallgemeinerung bekannter Resultate soll die Hausdorff Dimension der Pfade operator selbstähnlicher Prozesse und operator selbstähnlicher Zufallsfelder mit stationären Zuwächsen vollständig charakterisiert werden. Die angestrebten Resultate liefern, über die Hausdorff Dimension als ein Maß für die Rauheit, wertvolle Information über das lokale Pfadverhalten innerhalb der untersuchten Prozessklasse. Wichtige Beispiele innerhalb der Prozessklasse sind operator fraktionierte Brownsche Bewegungen. Als Verfeinerung der Resultate ist weiterhin beabsichtigt, exakte Hausdorff-Maß Funktionen für operator stabile Lévy Prozesse zu ermitteln. Es ist zu erwarten, dass die Dimensionsresultate lediglich von den Realteilen der Eigenwerte des Exponenten abhängen und auch unter der schwächeren Skalierungseigenschaft der operator semi-Selbstähnlichkeit gültig sind. Aus Sicht der Anwendungen ist daher ein leistungsfähiges Schätzverfahren für die Realteile der Eigenwerte des Exponenten von enormer Bedeutung. Ein weiteres Ziel des Projektes ist, eine bestehende für operator semi-selbstähnliche Prozesse allgemein gültige konsistente Schätzprozedur dieser Parameter auf die Anwendbarkeit für operator selbstähnliche Zufallsfelder zu erweitern und auf ihre Konvergenzgeschwindigkeit hin zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen