Class group computation in large fields

• Antragsteller: Professor Dr. Claus Fieker
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 239413268

In der Zahlentheorie zählt die Klassengruppe eines Zahlkörpers, welche im Grunde die multiplikative Struktur kontrolliert, zu den wichtigsten Invarianten. Obwohl Klassengruppen seit langer Zeit im Mittelpunkt des Interesses stehen, bleibt ihr Verhalten weitestgehend mysteriös und unerklärlich: Während ein zufällig gewählter Zahlkörper sehr oft eine triviale Klassengruppe besitzt, ist bisher unbekannt, ob überhaupt unendlich viele Zahlkörper mit trivialer Klassengruppe existieren. Andererseits sind auch Familien von Körpern mit sehr großen Klassengruppen bekannt. Die Struktur der Klassengruppe und deren Berechnung sind sehr stark an die Verteilung glatter Zahlen gekoppelt, wobei eine Zahl glatt heißt, falls sie keinen großen Primteiler besitzt. Das Projekt hat zwei wesentliche Ziele: Auf der mathematischen Seite soll die Untersuchung der bisher weitestgehend unbekannten Verteilung glatter Zahlen tiefere Einblicke in die Effizient aktueller Klassengruppenalgorithmen und verwandter Probleme ermöglichen. Speziell wird dieses Projekt neue Methoden zur Erzeugung und Analyse glatter Zahlen und für große, extrem dünn besetzte Matrizen entwickeln. Eine sorgsame Untersuchung von Brauerrelationen soll zudem für die Verifikation von Klassengruppen eingesetzt werden. Auf der Seite der Computeralgebra wird dieses Projekt die Grundsteine für zahlentheoretische Berechnungen im Rahmen des SPP 1489 bereitstellen: Algorithmen für Einheiten- und Klassengruppenberechnungen, Tests für Glattheit und praktische lineare Algebra über Zahlkörpern. Diese Methoden werden die Grundlage für ein unabhängiges, neues Computeralgebrasystem bilden, welches eng mit Singular als auch mit Gap integriert sein wird, um damit interdisziplinäre Anwendungen zu ermöglichen. In diesem Sinne versucht dieses Projekt die Nachfolge der leider nicht mehr aktiven Systeme Kant/KaSH, LiDIA und Simath anzutreten.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1489: Algorithmic and Experimental Methods in Algebra, Geometry and Number Theory
• Internationaler Bezug: Australien, Frankreich, Großbritannien
• Beteiligte Personen: Professor Dr. John J. Cannon; Dr. Pierrick Gaudry; Dr. Max Neunhöffer; Dr. Allan Steel; Professor Dr. Damien Stehle; Dr. Emmanuel Thome