Fragen der Harmonischen Analysis im Zusammenhang mit Hyperflächen

• Antragsteller: Professor Dr. Detlef Müller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 237750060

Die Frage, in welcher Form sich "geometrische" Eigenschaften von Untermannigfaltigkeiten des Euklidischen Raumes auf Probleme der Fourieranalysis bzw. Reellen Analysis auswirken, bildet seit mehreren Jahrzehnten einen der zentralen Forschungsgegenstände der Euklidischen Harmonischen Analysis. Dazu zählt z.B. die Frage nach Fourier-Restriktionsabschätzungen, welche von E.M. Stein (Princeton) formuliert und popularisiert wurde, und deren Anfänge bereits auf eine Arbeit von A. Zygmund aus dem Jahre 1974 zurückgehen. Die zu diesen Abschätzungen dualen "Strichartz-Abschätzungen" haben sich als fundamental für die moderne Theorie partieller Differentialgleichungen erwiesen. Verwandte Fragen sind z.B. die nach gleichmäßigen Abschätzungen der Fouriertransformierten von Oberflächenmaßen, oder auch die nach der Beschränktheit von assoziierten Maximalfunktionen auf Lebesgueschen Räumen, wie z.B. Steins sphärischem Maximaloperator. Substantielle Fortschritte in diesen Fragen sind vor allem im "generischen Fall" von Hyperflächen mit nicht-verschwindender Gaußscher Krümmung in tiefliegenden Beiträgen zahlreicher führender Analytiker erzielt worden, u.a. von E.M. Stein, C. Fefferman, J. Bourgain, T. Wolff, T. Tao, und kürzlich Bourgain und L. Guth, welche äußerst interessante Zusammenhänge zu anderen Gebieten aufgedeckt haben, u.a. zur geometrischen Maßtheorie, kombinatorischer Arithmetik bis hin zur Topologie. Dennoch sind viele dieser Fragen in höheren Dimensionen nach wie vor weit offen.Über Hyperflächen, auf denen die Krümmung in gewissen Punkten verschwindet, war bis vor wenigen Jahren kaum etwas bekannt, abgesehen von speziellen Klassen. In einer Reihe von gemeinsamen Arbeiten mit I. Ikromov (Samarkand) konnten wir in den letzten Jahren erhebliche Fortschritte auch für allgemeinere Hyperflächen im dreidimensionalen Raum erzielen. U.a. haben wir scharfe Abschätzungen der zugehörigen Maximalfunktionen auf Lebesgueschen L^p-Räumen für p>2 bewiesen, sowie für eine große Klasse solcher Hyperflächen (u.a. alle analytischen) scharfe Fourierrestriktionssätze vom Stein-Tomas-Typ hergeleitet. Das Ziel des Folgeprojektes besteht darin, unsere Ergebnisse für zweidimensionale Hyperflächen abzurunden. U.a. sollen Maximalfunktionen für Hyperflächen der ''Höhe'' <2 im Sinne von Varchenko untersucht werden, sowie Strichartz-Abschätzungen. Ferner sollen, gemeinsam mit A. Vargas (Madrid) und S. Buschenhenke (Birmingham), mit Hilfe der sogenannten bilinearen Methode (zu der Frau Vargas maßgeblich beigetragen hat) Fortschritte um Verständnis von Lp-Lq Fourierrestriktionabschätzungen für ''hyperbolische'' Flächen negativer Gaußkrümmung erzielt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen