Kombinatorische Untersuchungen zu q-Analoga zweier Rekursionen für Catalan Zahlen mit alternierenden Vorzeichen

• Antragstellerin: Dr. Yu Jin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Theoretische Informatik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 237373121

Eine jüngere Vermutung von Doron Zeilberger besagt, dass wenn die Zahlen $ \ {a_n \} _ {n \ ge 1} $ induktiv über die Rekursion für Catalan-Zahlen mit wechselnden Vorzeichen definiert sind, die Zahlen $ \ {a_n \} _ {n \ ge 2} $ dann monoton steigend und positiv sind. Motiviert durch Zeilbergers Vermutungen und eine offene Fragen von Andrews zu Koshys Identität, befassen wir uns in erster Linie mit den $ q $-Analoga zweier Rekursionen für Catalan-Zahlen mit wechselnden Vorzeichen. Dabei ist das $ q $-Analog einer Zahlenfolge bzw. einer Identität deren Erweiterung um einen Parameter $ q $, so dass der Grenzübergang $ q \ rightarrow 1 $ in natürlicher Weise eine Reduktion auf das Original liefert. Das Hauptziel unserer Forschung ist es, Zeilbergers Vermutung für Folge $ \{a_n \} _ {n \ ge 1} $ durch kombinatorische und probabilistische Untersuchungen auf die $ q $-Analoga von $ \ {a_n \} _ {n \ ge 1} $ zu verallgemeinern. Durch die weitere Analysen der $ q $-Analoga einer ähnlichen Rekursion für die Fuss-Catalan-Zahlen wollen wir die universelle Positivität der Koeffizienten der $ q $-Analoga beweisen. Wir hoffen, dass unsere Untersuchungen dazu beitragen werden, die innere Verbindung zweier scheinbar unabhängiger $ q $-Serie mit positiven Koeffizienten herauszuarbeiten. Eine davon ist das $ q $-Analogon von $ \ {a_n \} _ {n \ ge 1} $, die andere kommt aus dem $ q $-Analogon der Koshy Identität von Andrews. Wir erwarten dabei, dass wir auf unserem Wege einige Zwischenergebnisse von Bedeutung erzielen werden. Eines davon könnte die vollständig Lösung eines offenen Problems von Andrews zum $ q $-Analogon der Koshy Identität im Kontext der $q$-hypergeometrischen Reihen sein. Darüber hinaus erhoffen wir uns einen kombinatorischen Beweis für das $ q $-Analogon von Koshys Identität in Bezug auf Narayana Polynome, einen neuen Beweis Zeilbergers Vermutung durch den Einsatz von Methoden der analytischen Kombinatorik, sowie die Beantwortung offener Fragen von Lassalle zur Positivität der den verallgemeinerten exponentiellen Erzeugendenfunktionen der Catalanzahlen zugeordneten Schur Funktionen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich, Südafrika
• Beteiligte Personen: Professor Dr. Michael Drmota; Professor Dr. Markus Nebel; Professor Dr. Helmut Prodinger