Höhere Teichmüller Theorie

• Antragstellerin: Professorin Dr. Anna Wienhard
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 237100532

Modulräume flacher Bündel und Darstellungsvarietäten spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen Gebieten der Mathematik. Historisch traten diese Räume zuerst bei der Untersuchung von Systemen analytisches partieller Differentialgleichungen auf. Die analytische Fortsetzbarkeit der Lösungen liefert Monodromien und somit lineare Darstellungen der Fundamentalgruppen der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit. Dies lieferte die ersten Beispiele lokaler Systeme. Formal ein Teilgebiet der Differentialgeometrie und der Topologie, benutzt das Studium lokaler Systeme auch Methoden aus der Lie Theorie. Aufgrund der Allgegenwart dieser Räume können zudem Methoden und Blickwinkel verschiedenster mathematischer Gebiete, wie etwa der dynamischen Systeme, algebraischen Geometrie, Eichtheorie, Darstellungstheorie, Theorie der partiellen Differentialgleichungen, Zahlentheorie und komplexe Analysis, kombiniert werden. Dieses Zusammenspiel trägt zur Vielfalt dieses mathematischen Gebiets teil. In den vergangenen Jahren gab es zu dem eine wachsende Interaktion mit der theoretischen Physik, die sich für beide Seiten als fruchtbar erwiesen hat. Der Teichmüller Raum ist der Prototyp eines Raums lokaler Systeme. Der Teichmüller Raum ist eine glatte Überlagerung des Modulraums Riemannscher Flächen eines festen topologischen Typs. Er ist ein zentrales Objekt in verschiedenen mathematischen Gebieten. Er trägt facettenreiche geometrische Strukturen. Zum Beispiel, trägt der Teichmüllerraum eine natürliche komplexe Struktur und verschiedene Abbildungsklassen-invariante Metriken. Er kann mit natürlichen Koordinatensystemen versehen werden und trägt verschiedene ergodische Flüsse. Teichmüller Theorie spielte eine zentrale Rolle in dem kürzlich beendeten Geometrisierungsprogramm und der Klassifikation hyperbolischer drei-dimensionaler Mannigfaltigkeit. Quantisierungen des Teichmüllerraums geben geometrische Realisierungen einer konformen Feldtheorie, nämlich der Liouville-Theorie.Das Gebiet der höheren Teichmüller Theorie verallgemeinert die klassischen Konzepte der Teichmüller Theorie, die mit der Lie Gruppe PSL(2) verknüpft sind, für Lie Gruppen von höherem Rang, wie z.B. PSL(n). Das Gebiet enstand in den vergangenen zwanzig Jahren und wuchs zu einem zunehmend aktiven Gebiet heran, das kürzlich auch das Interesse der theoretischen Physik geweckt hat. Das Ziel des Forschungsprojekts ist, höhere Teichmüller Theorie zu einer Theorie zu erweitern und zu entwickeln, die die facettenreichen Strukturen des klassischen Teichmüllerraums vollständig verallgemeinert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen