Modulierende Pulslösungen zum Wasserwellenproblem

• Antragsteller: Professor Dr. Mark Groves
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Angewandte Mechanik, Statik und Dynamik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 229717591

Das klassische Wasserwellenproblem betrifft die wirbelfreie Strömung einer idealen Flüssigkeit unter dem Einfluss von Schwerkraft und Oberflächenspannung. Ein modulierender Puls ist eine Welle, die eine pulsartige Einhüllende besitzt und einen periodischen Wellenzug moduliert. Die Existenz modulierender Pulslösungen zu den Wasserwellengleichungen wurde durch vereinfachte Modellgleichungen und numerische Simulationen vorhergesagt, und es wird darüber spekuliert, ob sie eine Rolle in der Theorie von Monsterwellen (‚freak waves‘) spielen. Unser Ziel ist es, eine rigorose Existenztheorie für solche Lösungen zu entwickeln. Konkret möchten wir ein Forschungsprogramm verallgemeinern, das schon für die Konstruktion modulierender Pulslösungen zu anderen nichtlinearen Wellengleichungen erfolgreich verwendet wurde: (i) Man formuliere das Problem als Evolutionsgleichung, wobei die horizontale räumliche Koordinate in einem mitbewegten Koordinatensystem die Rolle der Zeitvariablen spielt (‚räumliche Dynamik‘). (ii) Man verifiziere die Existenz eines endlich dimensionalen invarianten Unterraums zu einem approximierenden System und zeige, dass dieser Raum homokline Lösungen enthält. Diese sind die durch vereinfachte Modellgleichungen vorhergesagten modulierenden Pulse.(iii) Man beweise, dass die Wasserwellengleichungen Lösungen besitzen, die sich auf sehr großen Längenskalen und für alle Zeiten durch die oben genannten homoklinen Lösungen approximeren lassen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Schweden
• Beteiligte Personen: Professor Dr. Guido Schneider; Professor Dr. Erik Wahlén