Untersuchung der Gültigkeit der Whitham-Approximation
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die langsame zeitliche und räumliche Modulation periodischer Wellenzüge nichtlinearer Wellengleichungen kann formal durch die Whitham-Approximation beschrieben werden. Die Whitham-Approximation kann mittels eines Multiskalenansatzes hergeleitet werden. Durch die formale Herleitung ist keineswegs klar, dass sich das Originalsystem so verhält, wie durch die Näherungsgleichung vorhergesagt. Es existieren zahlreiche Gegenbeispiele, bei denen dies nicht der Fall ist. Die Schwierigkeit liegt bei der Whitham-Approximation darin, dass die Amplitude von der Ordnung O(1), aber die Zeitskala von der Ordnung O(ε^-1) ist, wobei 0 < ε << 1 der kleine Störungsparameter bzw. Entwicklungsparameter ist. Das Ziel des Projektes war es, solche Approximationsresultate zu beweisen. Für ein gekoppeltes Klein-Gordon-Boussinesq System, welches eine, dem beschriebenen Problem, vergleichbare Resonanzstruktur aufweist, konnten mittels unendlich vieler Normalformtransformationen alle nichtresonanten Terme der Ordnung O(1) eliminiert werden und die Konvergenz der Hintereinanderausführung all dieser Transformationen gezeigt werden. Energieabschätzungen lieferten dann den angestrebten Approximationssatz. Für eine Boussinesq-Gleichung mit räumlich periodischen Koeffizientenfunktionen konnte die KdV-, die Burgers- und die Whitham-Approximation gerechtfertigt werden. Dies gelang über die Konstruktion einer sich zeitlich langsam verändernden Energiefunktion und der Anwendung von Operatortheorie.
