Analyse mehrparametriger Eigenwertprobleme aus der Strukturdynamik mit Homotopiemethoden

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Lothar Gaul (†)
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 20825383

Die in der Strukturdynamik auftretenden Bewegungsgleichungen werden überwiegend durch zeitinvariante gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben. Häufig sind die Systemmatrizen parameterabhängig. Die Untersuchung sowohl des dynamischen Verhaltens als auch die Stabilitätsanalyse erfordern die Lösung eines mehrparametrigen quadratischen Eigenwertproblems. Ziel des Antrags ist es, numerische Verfahren für die Abhängigkeit der Eigenwerte polynomialer Eigenwertprobleme von mehreren Systemparametern zur Verfügung zu stellen. Mit Hilfe dieser Methoden können die Einflüsse von Parametern auf das dynamische Verhalten untersucht werden. Naturgemäß sind viele Systemparameter unscharfe Größen, die nur in Intervallen durch einen unteren und oberen Grenzwert definiert sind. Diese Parametervariation erfordert daher die Analyse im ganzen Parameterraum. Bisher hat man solche Probleme durch eine Diskretisierung des Parameterraums behandelt. So werden bei der Stabilitätsanalyse zur Detektion kritischer Werte für eine Vielzahl von Parameterwerten wiederholt Eigenwertprobleme gelöst. Dieses Vorgehen ist insbesondere bei großen Problemen nicht effizient. In der Praxis sind Instabilitätsbereiche vielfach auf gewisse Frequenzbänder beschränkt. Somit liegt es nahe, auch nur gewisse Teile des Spektrums gezielt zu analysieren. Hierzu wurden von den Antragstellern in der Vergangenheit Verfahren entwickelt und mit Erfolg eingesetzt. Im Antragszeitraum geht es zunächst darum, die dabei aufgetretenen numerischen Probleme zu vermeiden. Darüber hinaus sollen neue Verfahren zur Lösung zweiparametriger quadratischer Eigenwertprobleme entwickelt und erprobt werden. Quadratische Eigenwertprobleme werden immer noch in den Zustandsraum transformiert, um die gängigen Lösungsverfahren für lineare Eigenwertprobleme anwenden zu können. In der Praxis ist dieses Vorgehen nicht immer praktikabel, weil sich die Ordnung der Matrizen verdoppelt. Dieser gravierende Nachteil kann durch unterschiedliche Ansätze vermieden werden. Dazu zählen Fortsetzungsmethoden, die bereits von den Antragsstellern analysiert worden sind. Die in der Umgebung von Verzweigungspunkten inherent schlecht konditionierte Jacobimatrix soll durch das Hinzufügen von Zeilen und Spalten, die sogenannte Ränderung, regularisiert werden. Ein weiterer Ansatz verfolgt die Lösung zugeordneter quadratischer Matrizengleichungen. Dieser innovative und erfolgversprechende Ansatz erfordert zunächst die Lösung generalisierter Sylvestergleichungen und nachfolgend die Lösung linearer Eigenwertprobleme von der Ordnung der Dimension der Systemmatrizen. Die beiden Strategien zur Lösung parameterabhängiger polynomialer Eigenwertprobleme sollen programmtechnisch realisiert werden und sind hinsichtlich ihrer Komplexität und Robustheit zu vergleichen. Die Methoden sollen an praxisrelevanten Aufgabenstellungen aus der Rotordynamik und der Fluid-Struktur-Interaktion erprobt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Beteiligte Person: Dr.-Ing. Nils Wagner