Verallgemeinerte Nash-Gleichgewichte via Optimierung unter Gleichgewichtsrestriktionen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt wurden die Glattheitseigenschaften von primalen und dualen Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) und Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) untersucht. Diese Gap-Funktionen sind Optimalwertfunktionen von primalen und dualen Umformulierungen eines GNEPs oder QVIs als restringiertes oder unrestringiertes Optimierungsproblem. Für gewisse Teilklassen von GNEPs (Spezialfall von 'player convex' GNEPs) und QVIs ('generalized moving set case') sind diese primalen Gap-Funktionen überall stetig differenzierbar, für allgemeine GNEPs und QVIs jedoch nicht. Weitere Untersuchungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit ergaben, dass die primalen Gap-Funktionen unter geeigneten Bedingungen, abgesehen von Sonderfällen, in allen lokalen Minima der entsprechenden primalen Umformulierung differenzierbar sind. In diesem Projekt wurden außerdem duale Gap-Funktionen für bestimmte Klassen von GNEPs und QVIs entwickelt, indem die primalen Gap-Funktionen basierend auf einer Idee von Dietrich (1999) als Differenz zweier gleichmäßig konvexer Funktionen dargestellt wurden und auf diese beiden Funktionen die Toland-Singer-Dualitätstheorie angewendet wurde. Es stellte sich heraus, dass diese dualen Gap-Funktionen stetig differenzierbar sind und unter geeigneten Bedingungen sogar stückweise stetig differenzierbare Gradienten besitzen. Die Ergebnisse dieses Projekts wurden durch numerische Berechnungen für diverse Testprobleme mittels bekannter Optimierungsverfahren erster Ordnung unterstützt. Überraschend war vor allem, dass der MPEC-Ansatz zum Lösen der 'player convex' GNEPs keine zufriedenstellenden Ergebnisse erbracht hat, weswegen wir das Vorhaben des Projekts modifizieren mussten. Infolgedessen konnten wir für die 'player convex' GNEPs (und deren Verallgemeinerung QVIs) trotzdem neue Ergebnisse erzielen. Offen geblieben ist die Frage, unter welchen Bedingungen die stationären Punkte von dα die Lösungen der dualen unrestringierten Optimierungsumformulierung des zugehörigen GNEPs oder QVIs sind und somit die Lösungen des entsprechenden Problems liefern.
