Divergenz- und Carbuncle-freie Godunov-Typ Verfahren für die Magnetohydrodynamik

• Antragsteller: Dr.-Ing. Friedemann Kemm
• Fachliche Zuordnung: Strömungsmechanik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 178394955

• Erstellungsjahr: 2015

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Zum Carbuncle. Es ist bereits in der Gasdynamik und bei Flachwasserströmungen im allgemeinen nicht möglich einen stehenden Stoß in zwei aufeinander folgende stehende Stöße aufzuspalten. Dies verhindert bei niedriger Verfahrensordnung und Einbau der Rankine-Hugoniot-Bedingung in die Konstruktion des Riemannlösers eine stationäre diskrete Lösung mit Zwischenzustand. Bei sehr hoher Verfahrensordnung etwa mit geometrischer Rekonstruktion wird im Allgemeinen an den Zellgrenzen ein stetiger Übergang erreicht, sodass der numerische Fluss einfach dem physikalischen Fluss im damit eindeutigen Zustand auf der Zellgrenze entspricht. Um dies zu garantieren, ohne auf die Monotonie der Rekonstruktion zu verzichten, ist mindestens vierte Ordnung notwendig. Bei der Verwendung von HLLEMCC für die Carbunclekorrektur sind die Parameter auch bei höherer Ordnung unverändert zu lassen. Zur numerischen Umsetzung der GLM-Divergenzkorrektur. Die zunehmende Verbreitung von Path-Conservative-Schemes und anderen Verfahren für nichterhaltende hyperbolische Systeme erleichtert den Einsatz der galileiinvarianten Form der MHD mit GLM. Für Roe-Typ-Verfaren ist es zu teuer, eigene Roe-Matrizen für das volle nichterhaltende System zu verwenden. Es ist günstiger und im Sinne der Physik besser, die Roe-Matrix für das erhaltende System entsprechend zu augmentieren. Will man die Divergenzfehler zusätzlich zum Abtransport noch dämpfen, bietet eine - analog zur Carbunclekorrektur - adaptive Steuerung der numerischen Viskosität auf den entsprechenden Wellen die beste Möglichkeit. Da sie im Gegensatz zum Quellterm der gemischten GLM-Korrektur die kurzen Wellenlängen stärker dämpft als die langen, kann durch den Einsatz der gemischten GLM-Korrektur keine weitere Verbesserung erzielt werden. Allgemeine Erkenntnisse. Die Roe-Linearisierung bietet den besten Zugriff auf die numerische Viskosität für die einzelnen Wellen. Bei Flux-Vector-Splitting ist dieser nur mit Mühe möglich, reicht aber, um etwa AUFS durch entsprechende Korrekturen positivitätserhaltend zu machen. Das Osher-Verfahren bietet zwar auf den nichtlinearen Wellen die optimale Viskosität für stationäre Zustände, erlaubt aber keinerlei adaptive Steuerung der Viskosität. Zusammen mit der Verletzung der Positivität für einige Riemannprobleme lässt dies das Osher-Verfahren nicht als geeigneten Kandidaten für die Carbuncle- und Divergenzkorrektur erscheinen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Heuristical and numerical considerations for the carbuncle phenomenon
  Friedemann Kemm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.amc.2017.09.014)
• An enhancement to the AUFS flux splitting scheme by Sun and Takayama, Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications (Pierangelo Marcati Andrea Marson Fabio Ancona, Alberto Bressan, ed.), Proceedings of the Fourteenth International Converence on Hyperbolic Problems held in Padova June 25–29, 2012, American Institute of Mathematical Sciences, 2014, pp. 725–732
  Friedemann Kemm
  
• A note on the carbuncle phenomenon in shallow water simulations, ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 94 (2014), no. 6, 516–521
  Friedemann Kemm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1002/zamm.201200176)
• Contributions to the numerical simulation of gas, shallow water, and plasma flows – wave-wise treatment of order and viscosity, Habilitationsschrift, Brandenburgische Technische Universität, 2014
  Friedemann Kemm
  
• The carbuncle phenomenon in shallow water simulations, The 2nd International Conference on Computational Science and Engineering (ICCSE-2014) (Ho Chi Minh City, Vietnam), 2014
  Georg Bader and Friedemann Kemm
  
• On two deficiencies of the AUFS scheme for euler flows and possible fixes, ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 95 (2015), no. 9, 897–910
  Friedemann Kemm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1002/zamm.201300184)
• Roe-type schemes for shallow water magnetohydrodynamics with hyperbolic divergence cleaning, Appl. Math. Comput.
  Friedemann Kemm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.05.079)