Dual stark perfekte Gitter
Final Report Abstract
Ein klassisches Problem in der Geometrie der Zahlen ist es, dichte Kugelpackungen zu finden. Für regelmäßige Kugelpackungen, sogenannte Gitter, entwickelten Voronoi, Korkine und Zolotareff Ende des 19ten Jahrhunderts einen Algorithmus, der die dichtesten Gitter im n-dimensionalen Raum alle auflistet. Wegen seiner Komplexität konnte man ihn bis heute aber erst bis zur Dimension 8 anwenden. Mit anderen Methoden ist es jedoch gelungen zu beweisen, dass das Leech Gitter in Dimension 24 das dichteste Gitter ist. Die von Venkov entwickelte Theorie der stark perfekten Gitter erlaubt es Methoden aus anderen mathematischen Disziplinen (Designs, Kombinatorik, Modulformen, Darstellungstheorie endlicher Gruppen) anzuwenden um gewisse lokal dichteste Gitter zu klassifizieren. In unserem Projekt haben wir gezeigt, dass es keine dual stark perfekten Gitter in Dimension 13, 15 und 17 gibt. Damit ist die Klassifikation dual stark perfekter Gitter bis zur Dimension 15 abgeschlossen, für die interessante Dimension 16 liegen Teilergebnisse vor. Ausserdem ist es mir gelungen ein extremales gerades unimodulares Gitter in Dimension 72 zu finden. Seit mindestens 30 Jahren suchte man erfolglos ein solches Gitter. Das Gitter liefert die dichteste bekannte Kugelpackung in Dimension 72. Sie ist 68 Milliarden mal dichter als eine naiv aus dem Leech Gitter konstruierte Packung. In ihr berühren 6.218.175.600 Kugeln eine andere gleichgrosse Kugel.
Publications
- An even unimodular 72-dimensional lattice of minimum 8. J. Reine und Angew. Math.
G. Nebe
(See online at https://doi.org/10.1515/CRELLE.2011.175) - On the classification of even unimodular Z-lattices with a complex structure. Int. J. Number Theory 8 (2012) 983-992
A. Krieg, M. Hentschel, G. Nebe
- On tight spherical designs. St. Petersburg Mathematical Journal (2012)
G. Nebe, B. Venkov
