Geometrie und Kombinatorik von Toruswirkungen auf algebraischen Varietäten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Projekt gliedert sich in vier Teilbereiche. In Bereich (A) haben wir Cox-Ringe algebraischer Varietäten mit Toruswirkung untersucht. Es wurde eine vollständige Beschreibung dieser Ringe in termini von Daten der Wirkung und des Cox-Ringes eines geeigneten Quotienten erzielt. Als Anwendung wurde ein neuer Zugang zu Varietäten mit Toruswirkung der Komplexität Eins entwickelt, mit Hilfe dessen dann Klassifikiationsergebnisse für Fanovarietäten mit Toruswirkung erzielt wurden. Gegenstand von Bereich (B) waren torische Methoden in der Geometrischen Invariantentheorie. Hier haben wir uns auf die Untersuchung sogenannter GIT-Limiten konzentriert. Dies sind kanonische Quotientenkonstruktionen, deren Geometrie jedoch im allgemeinen schwer zugänglich ist. Wesentliche Resultate sind die Berechnung des Cox-Ringes für den Raum der vollständigen Kollineationen vom Rang zwei und der Beweis, dass GIT-Limiten von k*-Wirkungen auf Quadriken stets endlich erzeugten Cox Ring haben sowie explizite Berechnungen für eine Serie von Füllen. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist eine GIT-Konstruktion für Operationen gewisser nicht reduktiver, z.B. unipotenter, Gruppen und ein kombinatorischer Zugang zu den resultierenden GIT-Limiten. In Bereich (C) untersuchten wir die Mirror-Symmetrie für Calabi-Yau-Varietaten im Zusammenhang mit Fano-Varietäten mit Toruswirkung. Ergebnisse in diesem Bereich sind die Klassifikation gorensteinscher torischer Fano-Varietaäten beliebiger Dimension n vom Index n - 1, die Klassifikation von Fano-Hyperflächen mit terminalen Singularitäten in 4-dimensionalen torischen Varietaten und die Bestimmung der Picard-Fuchs-Gleichungen für 3-dimensionale Calabi-Yau-Varietäten mit Picardzahl 1, die durch Glättung aus Hyperflächen in 4-dimensionalen torischen Fano-Varietäten entstehen. Weitere neue Ergebnisse betreffen die Untersuchung von topologischen Invarianten reeller Calabi-Yau-Hyperflächen in torischen Varietäten und die Verallgemeinerungen von torischen Methoden auf sphäische Varietäten. Gegenstand von Bereich (D) waren glatte torischen Varietäten, die klassischen Wurzelsystemen über den Fächer von Weylkammern zugeordnet werden. Wir untersuchten die Funktoren und die Struktur von Modulräumen zu diesen Varietäten. Dabei stießen wir auf einen torischen Modulraum, der dem Wurzelsystem vom Typ Bn assoziiert ist.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Classification of Gorenstein toric del Pezzo varieties in arbitrary dimension. Mosc. Math. J. 10 (2010), 285–316
Victor Batyrev, Dorothee Juny
- The Cox ring of an algebraic variety with torus action. Adv. Math. 225 (2010), 977–1012
Jürgen Hausen, Hendrik Süß
- Multigraded factorial rings and Fano varieties with torus action. Doc. Math. 16 (2011) 71–109
Jürgen Hausen, Elaine Herppich, Hendrik Süß
- On generalisations of Losev-Manin moduli spaces for classical root systems. J Pure Appl. Math. Q. 7 (2011), Special Issue: In memory of Eckart Viehweg, 1053–1084
Victor Batyrev, Mark Blume
- The functor of toric varieties associated with Weyl chambers and Losev-Manin moduli spaces. Tohoku Math. J. 63 (2011), 581–604
Victor Batyrev, Mark Blume
- The Cox ring of the space of complete rank two collineations. Math. Nachr. 285 (2012) 974–980
Jürgen Hausen, Michael Liebendörfer
- Conifold degenerations of Fano 3-folds as hypersurfaces in toric varieties, in “Strings, gauge fields, and the geometry behind”, World Sci. Publ., Hackensack, NJ,(2013), 187–212
Victor Batyrev, Maximilian Kreuzer
- Factorial algebraic group actions and categorical quotients. J. Algebra 387 (2013), 87–98
Ivan Arzhantsev, Devrim Celik, Jürgen Hausen
- The arc space of horospherical varieties and motivic integration. Compos. Math. 149 (2013), 1327–1352
Victor Batyrev, Moreau, Anne
(Siehe online unter https://doi.org/10.1112/S0010437X13007124) - Cox Rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 144, Cambridge University Press, viii+530 pp., 2014
Ivan Arzhantsev, Ulrich Derenthal, Jürgen Hausen, Antonio Laface
