Practical high-order free-Lagrangian particle methods for rotating barotropic fluids
Final Report Abstract
Das urprügliche Ziel diese Projektes war, eine gitterfreien Formulierung der Gleichungen einer barotropen Flüssigkeit auf ihre numerische Realisierbarkeit zu testen. Bei gitterfreien Methoden stellt sich die Frage, wie die Kontinuitätsgleichung, die den Massentransport beschreibt, gelöst wird. Der Transport von finiten Lagrang’schen “Fluidteilchen” ist zwar konsistent, jedoch läßt sich auf dieser Basis keine Methode höherer Ordnung entwickeln. Das explizite Lösen der Kontinuitätsgleichung wiederum läßt die potentiellen strukturellen Vorteile einer Lagrange’schen Methode nicht zum Tragen kommen. Ist die Strömung jedoch rotationsdominiert, wie es geophysikalische großskalige Systeme im Allgemeinen sind, so kann man sich den Ertel’schen Satz zunutze machen und die Dichte aus der potentielle Wirbelstärke, einer weiteren Lagrang’schen Erhaltungsgröße, stabil berechnen. Um diese Idee umzusetzen, benötigt man ein numerisches Differentiationsverfahren auf unstrukturierten Gittern. Wir hatten die „Moving Least Squares“ (MLS) Methode vorgeschlagen. Leider hat sich herausgestellt, dass die Qualität der Ergebnisse in drei Raumdimensionen im Durchschnitt stark zurückgeht, sobald das Gitter stark von einem strukturierten Gitter abweicht und die angestrebte Ordnung des Verfahrens besser als quadratisch ist. Insbesondere wird die Anzahl der Gitterpunkte, die im MLS-Verfahren miteinander koppeln, schnell sehr groß. Aus diesem Grund haben wir den ursprünglichen Ansatz erst einmal nicht weiter verfolgt, sondern haben das Problem der gitterfreien Interpolation und Differentiation noch einmal grundlegend betrachtet. Als Ergebnis haben wir einen offenbar neuen Ansatz, der die MLS-Interpolation über einen Regularisierungsterm im Sinne von Tychonov kontrolliert und gleichzeitig dynamisch eine optimale Interpolationsbasis sucht, in dem der Ursprung des lokalen Koordinatensystems so verschoben wird, dass die Folge der Koeffizienten maximal abfällt. Bisher haben wir das Verfahren nur in einer Raumdimension betrachtet, es gibt aber keine prinzipiellen Hindernisse in höhren Raumdimensionen. Der mit dem ursprünglichen Ansatz befasste Mitarbeiter hat unterdessen ein „Plan B Projekt“ erfolgreich bearbeitet. Er arbeitete an einer vereinfachten Variante eines Modells für chemische Niederschlagsreaktionen, die sogenannte Liesegangringe bilden. Er konnte unter anderem zeigen, dass das Modell unter bestimmten generischen Bedingungen eine unendliche Folge von Niederschlagsringen bildet, die jedoch auf ein endliches Gebiet in Raum und Zeit beschränkt sind. Über diesen Punkt hinaus kann die Lösung nur noch schwach fortgesetzt werden. Diese Ergebnisse zeigen, dass die Niederschlagsindikatorfunktion in dieser Klasse von Modellen als Niederschlagsdichtefunktion interpretiert werden muss. Diese Interpretation läßt sich numerisch stabil, insbesondere Gitterunabhängig realisieren. Daher glauben wir, dass die behandelten Konzepte auch auf ähnliche Systeme übertragbar sind und insbesondere für das mathematische Verständnis von Niederschlagsparametrisierungen in komplexen geophysikalischen Modellen relevant sind.
