Die geliftete Wurzelzahlvermutung für spezielle Klassen von Zahlkörpererweiterungen
Final Report Abstract
Die ganzen Zahlen Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , . . . } bilden eine Menge von Zahlen, mit der sich "vernünftig" rechnen lässt. So ist sie z.B. abgeschlossen unter den Rechenoperationen + und •, und es gelten alle üblichen Rechenregeln, wie z.B. a + b = b + a für alle ganzen Zahlen a und b. Allgemein nennt man eine Menge, die gewisse "vernünftige" Rechenregeln erfülll einen (kommutativen) Ring. Kommutativ bedeutet hierbei, dass a • b = b • a für alle Elemente a und b des Rings. Die ganzen Zahlen bilden also einen kommutativen Ring. Es gibt nun viele mathematische Objekte (sog. Moduln), auf die ein kommutativer Ring und zusätzlich eine endliche Gruppe wirken. Eine endliche Gruppe ist eine endliche Menge mit nur einer Rechenoperation, die ebenfalls "vernünftige" Rechenregeln erfüllt. Ein Beispiel sind die Drehungen eines Würfels im dreidimensionalen Raum. Aus einem kommutativen Ring und einer endlichen Gruppe lässt sich nun ein neuer Ring (ein sog. Gruppenring) basteln, der beide in sich vereint. Dieser neue Ring ist genau dann kommutativ, wenn auch für alle Elemente der Gruppe a • b = b • a gilt; solche Gruppen nennt man abelsch. Man sieht bereits an obigem Beispiel der Drehungen, dass dies in der Regel nicht der Fall sein wird. Die Theorie der Fittingideale ordnet nun jedem Modul M über einem kommutativen Ring R eine Invariante FittR(M) zu. Diese Invariante ist eine Teilmenge der Rings R und besitzt folgende wichtige Eigenschaft: Ist r ein beliebiges Element des Fittingideals und m ein beliebiges Element des Moduls, so wird m von r annulliert, also r • m = 0. Da man sich häufig für Annulation interessiert, stellen Fittingideale ein wichtiges Hilfsmittel dar. Die publizierte Arbeit verallgemeinert nun den Begriff des Fittingideals auf eine in der Zahlentheorie besonderes interessante Klasse von nicht-kommutativen Ringen (u.a. werden besonders Gruppenringe untersucht). Auch hier können wieder Aussagen über Annulation getroffen werden. Außerdem wird das Verhalten der nicht-kommutativen Fitting-Invarianten untersucht, um deren Berechnung zu erleichtern. Schließlich wird eine zahlentheoretische Anwendung zur Annulation sog. Klassengruppen gegeben. Ferner werden weitere zahlentheoretische Anwendungen gegeben. So werden zwei klassische Vermutungen, in denen eine abelsche Gruppe eine zentrale Rolle spielt, auf nicht-abelsche Gruppen verallgemeinert und in Zusammenhang mit anderen bereits bestehenden Vermutungen gestellt. Abgeschwächte Varianten dieser beiden Vermutungen lassen sich sogar in einer Vielzahl von Fällen beweisen. Schließlich wird nun die Theorie der nicht-kommutativen Fitting-Invarianten dazu benutzt, das angestrebte Resultat des Projekts zu zeigen: Im Falle sog. CM-Enweiterungen von Zahlkörpern impliziert die äquivariante Iwasawa Hauptvermutung (die aktuell von sehr hohem Interesse in der Zahlentheorie ist) im Wesentlichen die äquivariante Tamagawazahlvermutung auf Minusteilen. Letztere stellt einen sehr feinen Zusammenhang zwischen analytischen und arithmetischen Objekten her, der weitreichende Konsequenzen besitzt. So impliziert deren Gültigkeit z.B. auch die beiden vorangehend eingeführten Vermutungen (zumindest in sehr vielen Fällen).
