Fourier-Transformationen auf der Rotationsgruppe
Final Report Abstract
Das Projekt befasste sich mit Approximations-, Interpolations- und Optimierungsproblemen auf der Rotationsgruppe SO(3), sowie mit Problemen der schnellen Fourier-Transformation auf unstrukturierten Knotenmengen. Während der Bearbeitung des Projektes konnten wir einige wesentliche Fragestellungen allgemeiner bearbeiten, bei der sich dann die Ergebnisse für die Rotationsgruppe SO(3) als Spezialfall ergaben. Herr Schmid konzentrierte sich auf die wichtige Frage der Approximation von gestreuten Daten auf lokal kompakten Gruppen und untersucht hierbei die Rotationsgruppe SO(3) genauer. Er entwickelte in seiner Arbeit viele neue theoretische Aussagen, die sofort zu numerisch stabilen Algorithmen führten. Herr Gräf lieferte u.a. viele neue Beitrage zu der Wahl von speziellen Punktverteilungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für die numerische Integration ist die Wahl der Quadraturpunkte ein Grundanliegen. Es wird ein Weg gezeigt, diese Quadraturpunkte „optimal“ zu wählen. Ausgangspunkt ist dabei die Untersuchung des worst-case Quadraturfehlers auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten M. Dabei sind die Quadraturpunkte und die Quadraturgewichte so zu bestimmen, dass der worst-case Quadraturfehler in einem Hilbert-Raum mit reproduzierenden Kern minimal wird. Als Spezialfall ergeben sich neue Gauß-type und Chebyshev-type Quadraturregeln auf der Rotationsgruppe SO(3). Herr Frikel entwickelte die Ansütze zur Approximation weiter und wendete sie auf Fragestellungen im Bereich der Bildrekonstruktion an. Insbesondere wurden kernbasierte Verfahren im Hinblick auf ihre Verwendung für die approximative Inversion der Radon- und der sphärischen Radontransformation untersucht. Die Arbeiten hierzu werden derzeit von Herrn Schröder fortgesetzt. Insbesondere soll eine Verbindung von eingeschränktem Winkelbereich und der Gitternorm bezüglich der Approximationsgüte der Rekonstruktion hergeleitet werden. Erste Ergebnisse hierzu liegen bereits vor.
Publications
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