Fourier-Transformationen auf der Rotationsgruppe

• Applicants: Dr. Frank-Dieter Filbir; Professor Dr. Daniel Potts
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 78968907

• Final Report Year: 2014

Final Report Abstract

Das Projekt befasste sich mit Approximations-, Interpolations- und Optimierungsproblemen auf der Rotationsgruppe SO(3), sowie mit Problemen der schnellen Fourier-Transformation auf unstrukturierten Knotenmengen. Während der Bearbeitung des Projektes konnten wir einige wesentliche Fragestellungen allgemeiner bearbeiten, bei der sich dann die Ergebnisse für die Rotationsgruppe SO(3) als Spezialfall ergaben. Herr Schmid konzentrierte sich auf die wichtige Frage der Approximation von gestreuten Daten auf lokal kompakten Gruppen und untersucht hierbei die Rotationsgruppe SO(3) genauer. Er entwickelte in seiner Arbeit viele neue theoretische Aussagen, die sofort zu numerisch stabilen Algorithmen führten. Herr Gräf lieferte u.a. viele neue Beitrage zu der Wahl von speziellen Punktverteilungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für die numerische Integration ist die Wahl der Quadraturpunkte ein Grundanliegen. Es wird ein Weg gezeigt, diese Quadraturpunkte „optimal“ zu wählen. Ausgangspunkt ist dabei die Untersuchung des worst-case Quadraturfehlers auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten M. Dabei sind die Quadraturpunkte und die Quadraturgewichte so zu bestimmen, dass der worst-case Quadraturfehler in einem Hilbert-Raum mit reproduzierenden Kern minimal wird. Als Spezialfall ergeben sich neue Gauß-type und Chebyshev-type Quadraturregeln auf der Rotationsgruppe SO(3). Herr Frikel entwickelte die Ansütze zur Approximation weiter und wendete sie auf Fragestellungen im Bereich der Bildrekonstruktion an. Insbesondere wurden kernbasierte Verfahren im Hinblick auf ihre Verwendung für die approximative Inversion der Radon- und der sphärischen Radontransformation untersucht. Die Arbeiten hierzu werden derzeit von Herrn Schröder fortgesetzt. Insbesondere soll eine Verbindung von eingeschränktem Winkelbereich und der Gitternorm bezüglich der Approximationsgüte der Rekonstruktion hergeleitet werden. Erste Ergebnisse hierzu liegen bereits vor.

Publications

• Stability results approximation by positive definite functions on SO(3). J. Approx. Theory, 153:170-183, 2008
  F. Filbir und D. Schmid
  
• Stability results for scattered data interpolation on the rotation group. Electron. Trans. Numer. Anal., 31:30-39, 2008
  M. Gräf und S. Kunis
  
• On the computation of nonnegative quadrature weights on the sphere. Appl. Comput. Harmon. Anal., 27:124-132, 2009.
  M. Gräf, S. Kunis und D. Potts
  
• Sampling sets and quadrature formulae on the rotation group. Numer. Funct. Anal. Optim., 30:665-688, 2009
  M. Gräf und D. Potts
  
• A quadrature formula for diffusion polynomials coresponding to a generalized heat kernel. J. Four. Anal. Appl., 16:629-657, 2010
  F. Filbir und H. N. Mhaskar
  
• Probabilistic Marcinkiewicz-Zygmund inequalities on the rotation group. Math. Geosci., 42:731-746, 2010
  M. Gräf und D. Schmid
  
• Scattered data approximation on the bi-sphere and application to texture analysis. Math. Geosci., 42:747-771, 2010
  F. Filbir und D. Potts
  
• A continuous approach to discrete ordering on S2. Multiscale Model. Simul., 9:314334, 2011
  R. Backofen, M. Gräf, D. Potts, S. Praetorius, A. Voigt und T. Witkowski
  
• Marcinkiewicz-Zygmund measures on manifods. J. Complexity, 27:568-598, 2011
  F. Filbir und H. N. Mhaskar
  
• On the computation of spherical designs by a new optimization approach based on fast spherical Fourier transforms. Numer. Math., 119:699-724, 2011
  M. Gräf und D. Potts
  
• Surface spline approximation on SO(3). Appl. Comp. Harm. Anal., 31:169-184, 2011
  T. Hangelbroek und D. Schmid
  
• A unified approach to scattered data approximation on S3 and SO(3). Adv. Comput. Math., 37:379-392, 2012.
  M. Gräf
  
• Implementierung der nichtäquidistanten schnellen Fourier-Transformation auf der Rotationsgruppe SO(3) in der freien Softwarebibliothek NFFT3
  F. Filbir, D. Potts (u.a.)
  
• Locally Learning Biomedical Data Using Diffusion Frames. J. Comput. Biol., 19:1251-1264, 2012
  M. Ehler, F. Filbir und H. N. Mhaskar
  
• On the problem of parameter estimation in exponential sums. Constr. Approx., 35:323-343, 2012
  F. Filbir, J. Prestin und H. N. Mhaskar
  
• Projektseite zu optimalen Quadraturformeln auf der Sphäre S(i) 2 und der Rotationsgruppe SO(3) mit Bereitstellung der freien, in diesem Projekt entwickelten, Softwarebibliothek LORM
  F. Filbir, D. Potts (u.a.)
  
• Quadrature erros, discrepancies and their relations to halftoning on the torus and the sphere. SIAM J. Sci. Comput., 34:A2760-A2791, 2012
  M. Gräf, D. Potts und G. Steidl