Das matrizielle Nehari-Problem und dessen Verallgemeinerungen
Final Report Abstract
Das Projekt befasste sich in seiner Gesamtheit einerseits mit verschiedenen Aspekten aus dem Umfeld des matriziellen Nehari-Problems für den allgemeinen Fall sowie andererseits auch mit Fragestellungen hinsichtlich der Lösungsmenge von Problemstellungen, die als Verallgemeinerungen des matriziellen Nehari-Problems gedeutet werden können (etwa ein spezielles Vervollständigungsproblem fur matrixwertige Caratheodory-Funktionen, das unter dem Namen Problem von der Troika bekannt ist). Aufgrund der Komplexität jenes Unterfangens in Bezug auf das Problem von der Troika wurde sich dabei von vornherein auf den sogenannten vollstaöndig nichtdegenerierten Fall konzentriert. Zur Realisierung der gesteckten Ziele war eine Vielzahl an Zwischenüberlegungen durchzuführen. Diese beinhalteten insbesondere eine Analyse der Lösungsmenge von Taylor-Koeffizientenproblemen im Nullpunkt für matrixwertige Schur-Funktionen, das Studium spezieller Matrixpolynome, Betrachtungen über matrixwertige Funktionen der Klassen von Caratheodory und Schur sowie Untersuchungen zu nichtnegativ hermiteschen Maßen auf der Borelschen a-Algebra der Einheitskreislinie T der komplexen Ebene C. Eine ganze Reihe von Teilaufgaben konnte abgearbeitet werden, wobei bei der tatsächlichen Durchführung der geplanten Einzelschritte viele wertvolle neue Einsichten gewonnen werden konnten, die ihrerseits weiterführende Fragestellungen ans Tageslicht foörderten und den Blickwinkel der Forschung mitunter in neue Richtungen drängten. Etwa zeigte sich, dass es von Vorteil ist, eine Erweiterung des im klassischen Fall von Polynomen wohlbekannten Konzepts para-orthogonaler Funktionen (innerhalb der Szego-Theorie für orthogonale Polynome auf T) auf den Fall von rationalen Matrixfunktionen vorzunehmen. Die geführten Zwischenüberlegungen brachten letztlich eine Fülle an neuen Erkenntnissen hervor, welche durchaus von eigenständigem Interesse sind, aber wodurch auf der anderen Seite die als gewisse Höhepunkte des Vorhabens anvisierten Beschreibungen der Lösungsmengen von matriziellen Nehari-Problemen für den allgemeinen Fall sowie von Problemen von der Troika für den vollständig nichtdegenerierten Fall etwas in den Hintergrund traten. Nichtsdestotrotz suggerieren die bereits erhaltenen Zwischenresultate, dass der eingeschlagene Weg grundsätzlich der richtige war, um zu den gewünschten Beschreibungen der Lösungsmengen zu gelangen.
Publications
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(See online at https://doi.org/10.7153/oam-06-44)
