Algebraische Zykel auf Hyperflächen

In der algebraischen Geometrie sind Hyperflächen eine der einfachsten und wichtigsten Beispiele für algebraische Varietäten. Eine algebraische Varietät ist die Lösungsmenge eines polynomiellen Gleichungssystems. Im Fall einer Hyperfläche besteht dieses Gleichungssystem aus einer einzigen Gleichung. Die geometrischen Eigenschaften einer solchen Hyperfläche hängen dabei stark davon ab, wie groß der Grad der definierenden Gleichung im Vergleich zur Dimension, also zur Anzahl der Variablen ist. Eine interessante geometrische Eigenschaft ist insbesondere, welche anderen Varietäten in einer gegebenen Varietät enthalten sind. Linearkombinationen solcher Untervarietäten werden auch als algebraische Zykel bezeichnet. Im Fall von Hyperflächen besagt eine Vermutung von Griffiths und Harris aus dem Jahr 1985 in verallgemeinerter Form, dass der Grad aller algebaischer Zykel positiver Dimension auf einer sehr allgemeinen Hyperfläche hinreichend großen Grades bereits durch den Grad der Hyperfläche teilbar ist. Vor Kurzem konnten, basierend auf älteren Resultaten von Kollár, entscheidende Fortschritte zu dieser Vermutung durch den Autor des Projekts erzielt werden, indem die Vermutung erstmals für gewisse Grade vollständig bewiesen wurde. In jeder Dimension handelt es sich dabei um unendlich viele Grade, für die dies gelang. Allerdings bleibt die Vermutung auch für unendlich viele Grade noch offen. Eines der Ziele dieses Projekts ist es, weitere Fortschritte zu der Vermutung von Griffiths und Harris zu erzielen, indem die Menge der Grade, für die die Vermutung bewiesen werden kann, ausgeweitet werden soll. Ein weiteres Ziel betrifft die Widerlegung der integralen Hodge-Vermutung auf 3-dimensionalen Hyperflächen von möglichst kleinem Grad. Dieses Problem hängt ebenfalls stark mit den möglichen Graden von algebraischen Zykeln auf einer Hyperfläche zusammen. Schließlich werden im Rahmen des Projekts auch 0-dimensionale algebraische Zykel, also Linearkombinationen von Punkten, auf Hyperflächen betrachtet und ihre möglichen Grade untersucht. Insbesondere geht es um die Frage, ob die Existenz eines 0-Zykels von Grad 1 auf einer kubischen Hyperfläche bereits die Existenz eines rationalen Punkts impliziert. Diese Frage ist nur über Körpern von Bedeutung, die nicht algebraisch abgeschlossen sind, während die ersten beiden Fragestellungen hauptsächlich über dem Körper der komplexen Zahlen studiert werden.

DFG-Verfahren WBP Stipendium

Internationaler Bezug Frankreich

Gastgeber Dr. Olivier Benoist