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Arithmetik und Geometrie der Kudla-Millson-Theta-Funktion
Antragsteller
Dr. Riccardo Zuffetti
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2024
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 554793187
Modulformen spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik. Ist etwa E eine rationale elliptische Kurve, dann existiert eine Modulform f, deren Fourier-Koeffizienten an den Primzahlen p die Anzahl der Lösungen modulo p der entsprechenden Weierstraß-Gleichung kodieren. Wir können daher f als die erzeugende Reihe der Anzahl von Lösungen modulo p von E verstehen. Diese Existenzaussage ist eine Version des berühmten Modularitätssatzes.Die Bestätigung dieses Satzes war der letzte Schritt zur Vollendung des Beweises des Großen Fermatschen Satzes, erbracht von Wiles am Ende des letzten Jahrhunderts. Der Ansatz, arithmetische Eigenschaften von Zahlen durch die modularen Eigenschaften von erzeugenden Reihen zu untersuchen, wurde stark verallgemeinert und führte zu bemerkenswerten Ergebnissen in der algebraischen Geometrie, insbesondere in Bezug auf Shimura-Varietäten.In den 1980er Jahren konstruierten Kudla und Millson eine Theta-Funktion des Geschlechts g, für jede positive ganze Zahl g, mit mehreren bemerkenswerten Eigenschaften. Diese Theta-Funktion ist eine (nicht-holomorphe) Siegelsche Modulform vom Geschlecht g mit Werten im Raum der geschlossenen Differentialformen vom Grad 2g auf einer orthogonalen Shimura-Varietät X. Ihre Kohomologieklasse ist die bekannte erzeugende Reihe von Kohomologieklassen spezieller Zykel der Kodimension g auf X. Die Kudla-Millson-Theta-Funktion war ein grundlegendes Werkzeug in einigen neueren Entdeckungen, einschließlich solcher, die vom Antragsteller und Koautoren gemacht wurden. Allerdings sind ihre arithmetischen und geometrischen Eigenschaften noch nicht vollständig verstanden. Das vorgeschlagene Projekt zielt darauf ab, diese Eigenschaften weiter zu untersuchen, indem neue Methoden angewendet werden, die vom Antragsteller für verschiedene Arten von Shimura-Varietäten entwickelt wurden. Als Anwendung beabsichtigt das Projekt, grundlegende geometrische Invarianten von Shimura-Varietäten herzuleiten, wie etwa Dimensionen von Kohomologiegruppen, und neue Eigenschaften regularisierter Theta-Lifts, wie des Borcherds-Lifts, zu erforschen. Insbesondere zielt das Projekt darauf ab, Injektivitätskriterien für denjenigen Theta-Lift, der zur Kudla-Millson-Theta-Funktion assoziiert ist, zu etablieren, die Lefschetz-Zerlegung dieser Theta-Funktion in Bezug auf nicht-holomorphe Modulformen zu berechnen und die Lefschetz-Zerlegung der Kohomologieklasse, die zu dieser Theta-Funktion assoziiert ist, in Fällen mit geringem Gewicht zu untersuchen.
DFG-Verfahren
Sachbeihilfen