$L^q$ - Positivitätserhaltung und lokaldefektive Funktionen auf regulären Dirichlet-Räumen

• Antragsteller: Professor Dr. Batu Güneysu
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 554640378

Ein lange offen gebliebenes Problem der geometrischen Analysis ist die sogenannte BMS-Vermutung - benannt nach Braverman, Shubin und Milatovic - aus dem Jahre 2002. Diese Vermutung besagt, dass eine distributionel 1-superharmonische und quadratintegrierbare Funktion auf einem geeigneten Dirichlet-Raum automatisch nichtnegativ sein muss. Es besteht hierbei ein enger Zusammenhang zwischen dieser Vermutung und der Eindeutigkeit von gewissen Quantensystemen (durch die sogenannte wesentliche Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators). Außerdem kann man die Frage, anstatt für quadratintegrierbare Funktionen, auch für beschränkte Funktionen stellen, wobei dann ein enger Zusammenhang zur Lebenszeit zur zugrundeliegenden Diffusionsprozesses besteht (die sogenannte stochastische Vollständigkeit des Raumes). Es ist anzumerken, dass Regularitätsresulate für im distributionssinne super- beziehungsweise subharmonische Funktionen (letztere werden auch lokal defektive Funktionen genannt) werden in der Lösung der Vermutung eine zentrale Rolle spielen. Während die BMS-Vermutung erst im vergangenen Jahr für Riemannsche Mannigfaltigkeiten und eine kurze Zeit später für sogenannte lokalen Dirichlet-Räume gelöst worden ist, ist es das Ziel dieses Vorhabens die Vermutung in allgmeiner Form, auf sogenannten regulären Dirichlet-Räumen zu untersuchen. Diese Räume enthalten viele wichtige nicht-lokale Räume - wie etwa Fraktale. In einem weiteren Schritt, soll auf diesen regulären Dirichlet-Räumen der Zusammenhang zwischen der Regularität von beschränkten lokal defektiven Funktionen und der stochastischen Vollständigkeit des Raumes untersucht werden. Unser letztes Ziel ist die Erweiterung der obigen Untersuchungen auf gewisse unendlich-dimensionale Räume, wie etwa Schleifenräume. Das hier zugrunde liegende Setting ist jenes der sogenannten quasi-regulären Dirichlet-Räume - die allgemeinste Klasse von Räumen auf denen Probleme obiger Natur sinnvoll mathematisch formuliert werden können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen