Universalität und Langzeitverhalten von quasilinearen singulären stochastischen partiellen Differentialgleichungen

• Antragsteller: Dr. Markus Tempelmayr
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 552900305

Singuläre stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDG) haben im letzten Jahrzehnt viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen, sowohl von Forschenden der angewandten als auch der reinen Mathematik. Solche Gleichungen treten oft als "universelle" Objekte in physikalischen Modellen auf, und Ihre Lösbarkeit erfordert Werkzeuge aus unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik wie Algebra, Analysis oder Wahrscheinlichkeitstheorie. Obwohl viel Fokus auf Gleichungen mit Bezug zu (Euklidischer) Quantenfeldtheorie gelegt wurde, sind Gleichungen der mesoskopischen Physik etwas kurz gekommen. Ein Paradebeispiel ist die Dünnfilmgleichung mit thermischem Rauschen. Um dem entgegen zu wirken möchte ich eine gewisse Klasse von quasilinearen singulären SPDG betrachten, und insbesondere deren Universalität und Langzeitverhalten untersuchen. Genauer gesagt schlage ich vor auf der kürzlich in Zusammenarbeit mit Linares, Otto und Tsatsoulis, und von Sauer und Smith entwickelten Lösungstheorie aufzubauen und i) Logarithmen im Skalierungsverhalten eines Term-für-Term Ansatzes von Lösungen zu erfassen, und den einhergehenden Freiheitsgrad der Renormierung zu verstehen, ii) schwache Universalitätsresultate mittels Malliavin-Kalkül zu beweisen, iii) globale Existenz von Lösungen der Dünnfilmgleichung mit thermischem Rauschen zu zeigen, und Invarianz des auf positive Funktionen konditionierten Gauss´schen freien Feldes beweisen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Gastgeber: Professor Dr. Martin Hairer