Endliche topomorphe Erweiterungen gleichgradig stetiger dynamischer Systeme

• Antragsteller: Professor Dr. Tobias Henrik Oertel-Jäger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 552775134

Das Verständnis und die Quantifizierung der Komplexität zeitabhängiger Systeme nimmt in der Theorie dynamischer Systeme eine zentrale Rolle. Der Begriff der Entropie ermöglicht es dabei, die einem System inherente "Chaotizität" zu messen. Auch bei verschwindender Entrope lässt sich allerdings eine bemerkenswerte Vielfalt an dynamischen Verhaltensweisen beobachten. Daher ist die Untersuchung von Null-Entropie-Systemen ein Gebiet von eigenständigem Interesse, das in den letzten Jahrzehnten erhebliche Fortschritte verzeichnet hat. Eine besondere Motivation dafür ergibt sich aus der Theorie der aperiodischen Ordnung, bei der mathematische Modelle von Quasikristallen und andere aperiodischen Strukturen über von diesen induzierte dynamische Systeme untersucht werden. Unterschiedliche Niveaus langreichweitiger Ordnung entsprechen dann unterschiedlichen Graden dynamischer Komplexität. Ein alternativer Zugang zur Untersuchung dynamischer Systeme besteht in der Betrachtung von Erweiterungsstrukturen. Dieser Ansatz hat zu wegweisenden Ergebnissen wie dem Furstenberg-, dem Furstenberg-Zimmer- oder dem Veech-Strukturtheorem geführt. Im Kontext von Systemen geringer Komplexität lässt sich hoffen, wichtige Systemklassen durch grundlegende Erweiterungsstrukturen charakterisieren zu können. In jüngerer Zeit gab es dabei erhebliche Fortschritte im Verständnis gleichgradig stetiger minimaler Systeme. Wie Glasner und Downarowicz zeigen, sind diese isomorph zu ihrem maximal gleichgradig stetigen Faktor (MEF), einer zugrundeliegenden kompakten Gruppenrotation, die den "regulären" (nicht-chaotischen) Teil der Dynamik codiert. Durch nachfolgende Resultate wurde eine Hierarchie von Unterklassen etabliert, die durch unterschiedliche Invertierungseigenschaften der Faktorabbildung zum MEF charakterisiert sind. Das Projekt baut auf diesen jüngsten Fortschritten auf, um die Theorie auf eine allgemeinere Klasse von Systemen auszudehnen, die als endliche topomorphe Erweiterungen bezeichnet werden. Dies stellt einen natürlichen nächsten Schritt im Verständnis der Dynamik von geringer Komplexität aus der Perspektive von Erweiterungsstrukturen dar. Darüber erfasst dies eine Reihe paradigmatischen Beispielen aus dem Bereich der aperiodischer Ordnung (z.B. Thue-Morse oder Rudin-Shapiro). Ziel des Projekts ist es, dynamische Charakterisierungen von endlichen topomorphen Erweiterungen und wichtigen Unterklassen bereitzustellen, die wiederum in Bezug auf strukturelle Eigenschaften der MEF-Faktorabbildung definiert sind. Um die Komplexität dieser Systeme zu beschreiben und Konjugationsklassen zu unterscheiden, soll eine Familie maßgeschneiderter topologischer Invarianten etabliert werden. Darüber hinaus werden die Konstruktion und Untersuchung neuer Beispiele eine herausragende Rolle spielen und Hand in Hand mit der Entwicklung der allgemeinen Theorie gehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen