Topologische Rekursion, Dualität und Anwendungen

• Antragsteller: Dr. Alexander Hock
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 551478549

Das Zusammenspiel unterschiedlicher Teilgebiete der Mathematik hat in vielen Fällen einen heuristischen Ursprung aus der theoretischen oder mathematischen Physik. So entstand auch Wittens Vermutung über die Äquivalenz zwei verschiedener Formulierung von zwei-dimensionaler Quantengravitation. Mathematisch bedeutet dies, dass die erzeugenden Funktion bestimmter topologischer Invarianten des klassischen Modulraums eine Hierarchie von partiellen Differentialgleichungen erfüllt. Dies wurde von Kontsevich bewiesen. Heute wissen wir, dass enumerative Geometrie, Integrable Systeme, Matrix Modelle, Hurwitz Theorie, topologische Stringtheorie, gewissen Quantenfeldtheorien und die Theorie der Freien Wahrscheinlichkeit dieselben rekursiven Strukturen aufweisen. Sei es für enumerative Invarianten, Korrelationsfunktionen oder Erwartungswerten, in all diesen Bereichen hat die rekursive Struktur eine topologische Komponente, die durch das Geschlecht einer Riemannschen Fläche gegeben ist. Die Struktur ist rekursiv in der Euler Charakteristik. Die Lösung dieser rekursiven Gleichungen kann durch den Algorithmus der Topologischen Rekursion formuliert werden, welche für eine gegeben Spektralkurve eine Familie von Multidifferentialen erzeugt. Zwei unterschiedliche Familien dieser Multidifferentiale, die durch die so genannte $x-y$ Transformation zusammenhängen, bilden eine Dualität. Diese universelle Dualität hat diverse Anwendungen und liefert zum Beispiel, explizit Formeln für Schnittzahlen auf dem Modulraum der komplexen Kurven oder den funktionalen Zusammenhang zwischen freie Kumulanten höherer Ordnung und Momenten in Freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir wollen die Anwendung dieser universellen Dualität von algebraischen zu nicht-algebraischen Spetralkurven erweitern, wodurch sich neu Anwendungen in topologischer Stringtheorie ergeben. Explizit Formeln für Gromov-Witten Invarianten torischer Calabi-Yau 3-Mannigfaltigkeiten sind zu erwarten. Weitere Beispiele sind das Zusammenspiel des $A$-Polynom und des coloured Jones-Polynoms in Knotentheorie. Die $x-y$ Dualität ist durch formale, nicht-konvergente Reihen in einer Entwicklung in $\hbar$ gegeben. Jedoch kann das asymptotische Verhalten durch Resurgence und Borel Summen analysiert werden, wodurch über die Asymptotik von topologischen Invarianten und Korrelationsfunktionen und ihr nicht-perturbative Regime geschlossen werden kann. Dieses Problem liegt im direkten Zusammenhang zum Problem der Störungstheorie in Quantenfeldtheorie, welche mathematisch nur als eine formale Reihe zu verstehen ist, wobei die Natur uns einen nicht verschwindenden Wert der Feinstrukturkonstante als auch des Planckschen Wirkungsquantums offenbart. Dieses Forschungsprojekt wird neue algebraische Strukturen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und mathematischen Physik aufdecken und ein tieferes Verständnis für die Verbindungen zwischen ihnen bieten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Niederlande
• Kooperationspartner: Professor Dr. Sergey Shadrin