Hodgetheorie von Lagrangeuntervarietäten und Anwendungen in der Deformationstheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Lehn; Professor Dr. Christian Sevenheck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 550535392

In diesem Projekt sollen singuläre Lagrangeuntervarietäten in holomorph symplektischen Mannigfaltigkeiten studiert werden. Speziell wollen wir deren Hodgetheorie sowie deren Deformationstheorie und ihren Zusammenhang untersuchen. Das Grundprinzip unserer Untersuchungen ist die Überzeugung, dass Deformationen von Lagrangeuntervarietäten von toplogischen oder hodgetheoretischen Daten bestimmt werden. Wir wollen gleichzeitig lokale und globale Situationen, d.h. Keime bzw. affine Varietäten und kompakte bzw. projektive Varietäten studieren. Das wesentliche technische Hilfsmittel unserer Untersuchungen ist der Lagrange-de Rham-Komplex. Wir bauen auf vorhergehenden Ergebnissen im lokalen Fall auf. Es soll insbesondere geklärt werden, inwieweit dieser Komplex hodgetheoretischen Ursprungs ist. Konkret wollen wir feststellen, ob es sich dabei um eine perverse Garbe, welche von einem gemischten Hodgemodul kommt, handelt. Ein weiterer Teil dieses Projekts ist das Studium der Obstruktionstheorie von Lagrangeuntervarietäten sowie die Untersuchung des präzisen Zusammenhangs von lokalen und globalen Deformationen. Wir vermuten, dass der hodgetheoretische Ursprung von Lagrangedeformationen zu Unobstruiertheitsresultaten führt (d.h., zur Glattheit lokaler Modulräume), zumindest unter gewissen Restriktionen an den Typ von Singularitäten der Lagrangevarietäten. Derartige Resultate sind ein erster Schritt, um Glättbarkeit von singulären Untervarietäten zu beweisen, was von großer Bedeutung in Anwendungen ist. Desweiteren wollen wir Deformationen von Lagrangeuntervarietäten in (möglicherweise) singulären symplektischen Varietäten untersuchen, bei denen sowohl die Untervarietät als auch die symplektische Varietät deformiert werden können. Dies soll durch das gleichzeitige Studium von Lagrange-de Rham-Kohomologie, als auch von Poisson-Kohomologie erreicht werden. Es ist bekannt, das letztere die Deformationen von (singulären) symplektischen Varietäten kontrolliert. Ein wesentlicher Teil des Projektes ist die Anwendung der erreichten abstrakten Resultate über Lagrange-de Rham-Kohomologie und über Deformationsräume auf aktuelle Fragen über holomorph symplektische Varietäten, wie beispielsweise O'Gradys- bzw. Voisins Vermutungen über die Existenz von Lagrange- (bzw., allgemeiner, koisotropen) Untervarietäten. Schlußendlich wollen wir Beispiele von globalen Lagrangeuntervarietäten mit interessanten deformationstheoretischen Eigenschaften finden, wie etwa Untervarietäten, für welche Lagrangedeformationen unobstruiert sind, oder, andererseits, für welche es überhaupt keine Lagrangedeformationen gibt (sogenannte rigide Beispiele). Neben diesen konkreten Anwendungen sind wir der Überzeugung, dass das Gebiet der holomorph symplektischen Geometrie wesentlich von der Entwicklung einer systematischen Lagrange-Deformationstheorie profitieren würde. Neuere hodgetheoretische Ergebnisse (etwa von Bakker-Schnell) indizieren, dass die genannten Projektziele realistisch sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen