Ricci Fluss auf diskreten Strukturen

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Keller; Dr. Florentin Münch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549422058

Auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten wird der Ricci-Fluss weithin als Wärmefluss der Riemannschen Metrik angesehen. Der klassische auf Hamilton in den 1980er Jahren zurückgehende Begriff, zeigte er seine volle Bedeutung in der Arbeit von Perelman über die Poincaré-Vermutung in den frühen 2000er Jahren. In den letzten Jahren gab es verschiedene Versuche in der reinen und angewandten Mathematik, entsprechende Begriffe für Graphen zu definieren. Dem gingen enorme Anstrengungen voraus, geeignete diskrete Ricci-Krümmungsbegriffe zu definieren und ihre geometrische und analytische Bedeutung zu untersuchen. Die Geometrisierung von diskreten Objekten hat in den letzten Jahren erhebliche Fortschritte gemacht und hat verschiedene Bereiche wie Kombinatorik, Geometrie, Wahrscheinlichkeit, Analysis sowie Daten- und Computerwissenschaften zusammengebracht. Zwei zentrale Motivationen für diskrete Krümmung sind folgende: Erstens ist es aus Sicht der reinen Mathematik bedeutend, Perelmans Beweis aus einer diskreten Perspektive zu untersuchen. Dadurch kann man Werkzeuge entwickeln, um die Vielzahl der topologischen Fragen, die sich aus Perelmans Resultat ergeben, anzugehen. Zweitens ist aus Sicht der angewandten Mathematik der Begriff der Clusterbildung von entscheidender Bedeutung und wurde bereits empirisch mit Hilfe des diskreten Ricci-Flusses untersucht. Die Entwicklung eines strukturellen und streng fundierten Verständnisses von Clustering mit Hilfe des diskreten Ricci-Flusses ist wünschenswert. Dies sind langfristige Ziele, die weit über dieses Projekt hinausgehen, welches jedoch darauf zielt die mathematischen Grundlagen für diese zu schaffen. Durch das Projekt ziehen sich drei Leitfragen: (a) Was kann man von kontinuierlichen Strukturen für diskrete Strukturen lernen? (b) Was kann man von Graphen für Zellkomplexe lernen? (c) Welche Beziehung besteht zwischen den verschiedenen Begriffen der diskreten Ricci-Krümmung und des Ricci-Flusses? Auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten gibt einen klassischen Begriff der Ricci-Krümmung mit einer breiten Palette von Charakterisierungen der unteren Schranken. Im Diskreten hingegen gibt es eine Vielzahl von Analoga und Schranken. Sie sind nicht äquivalent aufgrund der Mehrdeutigkeit des diskreten Gradienten und auf technischer Ebene aufgrund des Fehlens einer Kettenregel für den Laplace Operator. In diesem Zusammenhang wurde ein tiefes Verständnis für die Analysis und Geometrie diskreter Räume entwickelt. Somit, gibt es mittlerweile mehrere gut etablierte Begriffe der diskreten Ricci-Krümmung. Es sollte nicht überraschen, dass jeder dieser Begriffe der diskreten Ricci-Krümmung mit einer eigenen Version des Ricci-Flusses einhergeht. Viele dieser Begriffe wurden bereits in spezifischen Anwendungen wie der Erkennung von Gemeinschaften, dem Abgleich von Netzwerken, der Neuverknüpfung von neuronalen Graphen-Netzwerken. Die theoretische Untersuchung dieser Flüsse steckt jedoch noch in den Kinderschuhen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen