Regelung Numerischer Eigenwertverfahren: Kontrollierbarkeit, Stabilität und optimale Steuerung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Berechnung von Eigenwerten von Matrizen oder das Lösen linearer Gleichungssysteme sind Grundaufgaben der Numerischen Linearen Algebra, die sich überall in Anwendungen auf Naturwissenschaft und Technik stellen. Die bekannten numerischen Lösungsverfahren und Software Pakete sind dabei nieist nur auf spezielle Typen von Matrizen, wie z.B. "normale" Matrizen, zuverlässig anwendbar und versagen oft bei komplizierteren Matrizen. Die Frage stellt sich daher, ob und inwieweit man die bekannten Lösungsalgorithmen so abändern kann, dass sie für eine breitere Klasse von Matrizen funktionieren. Lösungsalgorithmen für grosse Systeme sind iterativ und lassen sich daher grundsätzlich mit Methoden der Regelungstheorie untersuchen. Jede erfolgreiche Regelung basiert auf einer Kenntnis der erreichbaren Zustände des Systems. Umgekehrt liefern Erreichbarkeitsmengen fundamentale Schranken für die Regelung eines Systems. Da man in der Regelungstechnik heute auch sehr grosse, komplexe Systeme erfolgreich regeln kann, stellt sich die Frage, ob man diese Methoden nicht auch zum Lösen komplexer Eigenwerertprobleme einsetzen kann. Im Projekt KONNEW der DFG wurden dazu am Lehrstuhl für Mathematik II die Universität Würzburg grundlegende mathematische Untersuchungen über die Struktur der Erreichbarkeitsmengen numerischer Lösungsalgorithmen durchgeführt. Dabei zeigte sich, dass -zumindest vom Standpunkt der Regelungstheorie-selbst relativ kleine Systeme schon sehr kompliziert sein können. So kann z.B. das überraschende 'Abstossungsphänomen" dazu führen, dass gewisse Eigenvektoren überhaupt nicht berechnet werden können. In über 15 Publikationen und einer Dissertation wurden während der zweijährigen Projektphase (2006-2008) die Kontroflierbarkeitseigenschaften nunierischer Eigenwertverfahren eingehend untersucht und so ein Beitrag zur Grundlagenforschung numerischer Algorithmen geleistet.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- G, Dirr, U. Helmke, M. Kleinsteuber, S.J. Glaser and Th. Schulte- Herbrüggen. The local C-numerical range: examples, conjectures and numerical algorithms. Proc. 17th Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS), Kyoto, Japan, 2006, pp. 1419-1426.
- G- Dirr, U. Helmke, M. Kleinsteuber and Th. Schulte-Herbrüggen. A new type of C-numerical range arising in quantum computing. Proc. Appl. Math. Mech. 6 (2006), 711-712.
- G. Dirr, U. Helmke and C. Lageman. Nonsmooth Riemannian optimization with applications to sphere packing and grasping. Proc. IFAC LHMN Workshop Nagoya, 2006
- G. Dirr, U. Helmke and C. Lageman. Some applications of Riemannian optimization to mechanics, in: Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences Vol. 366, (Eds.: Francesco Bullo and Kenji Fujimoto), Springer-Verlag, 2007
- G. Dirr, U. Helmke, M. Kleinsteuber and Th. Schulte-Herbrüggen. Relative C-numerical ranges for applications in quantum control and quantum information. Linear and Multilinear Algebra 56 (2008), 27- 51.
- J. Jordan. Discrete-time control systems on homogeneous spaces: partition property. Control and Cybernetics 35 (2006), 863-871.
- J. Jordan. Reachable sets of numerical iteration schemes: a system semigroup approach. Dissertation Universität Würzburg, 2008
- J.I. Curto, P.A. Fuhrmann and U. Helmke. A systemtheoretic approach to Goppa codes. Proc. of MTNS 2008, Blacksburg, USA.
- U. Helmke and J. Jordan. Optimal control of iterative solution methods for linear systems of equations. Proc. Appl. Math. Mech. 5 (2005), 163- 164.
- U. Helmke and M. Kleinsteuber. Riemannian Newton algorithm for computing Lagrangian invariant subspaces. Proc. of MTNS 2008, Blacksburg; USA.
- U. Helmke and P.S. Krishnaprasad. Principal subspace flows via mechanical systems on Grassmann manifolds, in: Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences Vol. 366, Francesco Bullo and Kenji Fujimoto), Springer-Verlag, 2007
- U. Helmke, J. Jordan and A. Lanzon. A control theory approach to linear equation solvers, in: Proceedings of the MTNS 2006, Kyoto.
