Homotopieinvarianten arithmetischer Schemata

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Schmidt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2012
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5471524

Die Homotopietheorie der Schemata überträgt Techniken aus der algebraischen Topologie auf algebraische Schemata. Hierzu existieren zwei Ansätze: die étale Homotopietheorie von Artin-Mazur [AM] und die A1-Homotopietheorie von Morel-Voevodsky [MV]. Der Zusammenhang zwischen beiden Theorien ist bislang wenig untersucht. Dieser erscheint aber gerade für arithmetische Schemata von fundamentaler Bedeutung zu sein. So stellt beispielsweise die Klassenkörpertheorie einen Zusammenhang zwischen algebraischen Zykelgruppen und der abelsch gemachten étalen Fundamentalgruppe her, der in diesem Kontext interpretierbar ist. Weitere Beispiele sind Regulatorabbildungen sowie die Beziehungen zwischen algebraischer und étaler K-Theorie. Ein tieferes Verständnis dieses Zusammenhangs wird derzeit noch dadurch behindert, dass der überwältigende Teil der Theorie bislang nur für Varietäten über Körpern (oft der Charakteristik Null) in zufriedenstellender Weise entwickelt ist.Ziel des Projektes ist die Weiterentwicklung der homotopietheoretischen Methoden, insbesondere in Richtung einer Anwendung auf arithmetische Fragestellungen. Zentrale Fragen sind die nach der Struktur der abelsch gemachten Fundamentalgruppe (höherdimensionalen Klassenkörpertheorie), dem Verschwinden der höheren étalen Homotopiegruppen, sowie die nach der lokalen Struktur des étalen Homotopietyps, d.h. die Frage, ob arithmetische Schemata in der Nähe eines jeden ihrer Punkte von einfacher Struktur im Sinne der étalen Homotopietheorie sind.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 570: Algebraische Zykel und L-Funktionen