Realization of Floquet systems in microwave billiards
Final Report Abstract
In dem Forschungsvorhaben ging es um die Realisierung eines Floquet-Experimentes mit Mikrowellen. Dieses ist ein wellenmechanisches System, welches periodisches variiert wird. Das Paradebeispiel solcher Systeme ist der gekickte Rotator. Während das klassische System im chaotischen Bereich Diffusion zeigt, wird dieses Diffusion im Wellenmechanischen System unterdrückt und es kommt zur "dynamischen Lokalisierung". Unsere erste Realisierung war eine Mikrowellenkavität, an welche über eine Antenne ein Mikrowellenkabel angeflanscht war, dessen Reflektions- und Transmissionseigenschaften durch eine spezielle Kapazitätsdiode verändert werden konnten. Da hierbei die Änderung der Kavität nur lokal passierte mussten wir zuerst eine entsprechende Theorie entwickeln. Dabei gingen wir von einer Kopplung eines eindimensionalen System (Mikrowellenkabel) an ein zweidimensionales System (Mikrowellenkavität) über eine Antenne aus. Die Kopplung wurde als punktförmig angenommen. Durch Hermizitätsbedingungen an der Kopplungsstelle konnten wir zeigen, dass die Kopplung durch vier Parameter beschrieben wird. Zwei davon Beschreiben die Kopplung der beiden Systemteile, während die beiden anderen jeweils einer Störung im individuellen Systemteil entsprechen. Die Störung in der Kavität konnten wir auf die Streulänge der Antenne zurückführen, welche darüber in die Renormierung der verwendeten Greensfunktion Eingang fand. Insbesondere ist die Theorie auch gültig im Falle von entarteten und sehr dicht liegenden Resonanzen. Für den statischen Fall haben wir gezeigt, das Wellenfunktionsmessungen mit Mikrowellen im Fall von Entartungen nicht eine Superposition der entarteten Wellenfunktionen messen, sondern nur die Summe der Betragsquadrate. Im Falle von sehr dicht liegenden Eigenwerten können die Knotenlinien der eigentlichen Wellenfunktionen dadurch aufgebrochen werden. Desweiteren konnten wir eine Inkonsistenz in der Literatur bezüglich der Nächsten-Nachbarschaftstatistik eines Seba-Billards (Rechteckbillard mit deltaförmiger Störung) klären. Es gibt hierbei unterschiedliche Ergebnisse und Vorhersagen in der Literatur. Unserer Theorie zeigte, dass im semiklassischen Limes der Effekt der deltaförmigen Störung auch für die Nächste-Nachbarschaftstatistik verschwindet und man eine Poissonverteilung bekommt. Was der Spektralverteilung eines integrablen Systems entspricht. Für bestimmte Parameterwerte im Übergangsbereich kann man aber eine Verteilung bekommen, die der eines chaotischen Billards entspricht. Wesentlich ist innerhalb der Theorie, dass die Renormierung korrekt durchgeführt wird. Für eine zeitabhängige Störung konnten wir zeigen, dass das System durch eine einfache getriebene Differentialgleichung genähert werden kann. Wir realisierten ein Mikrowellen-Floquet-System welches in gewissen Parameterbereichen dieser DGL entspricht. Dieses experimentelle System zeigte Seitenbandstrukturen, welche den Seitenbandstrukturen einer numerischen Lösung der DGL entsprachen. Insgesamt kann man sagen, das es uns von der theoretischen Seite gelungen ist in einem wellenmechanischen System mit deltaförmiger Störung den Effekt der Störung exakt zu beschreiben, wobei die Störung stationär oder zeitabhängig sein kann. Des Weiteren ist es uns gelungen ein Mikrowellen-Floquet-System aufzubauen, in dem wir die Vorhersagen unserer Theorie, wie z.B. den exponentiellen Abfall der Seitenbänder bei sinusförmiger Treibung, den algebraischer Abfall bei rechteckförmiger Treibung, schnellerer Abfall außerhalb und langsameren Abfall innerhalb des klassisch erlaubten Bereichs bestätigen konnten. Leider war das Aufstellen der Theorie und die experimentellen Überprüfungen der Theorie sehr zeitaufwendig , weshalb nicht mehr die Zeit blieb, das experimentelle System zu realisieren, welches "dynamische Lokalisierung" zeigen könnte. Dies ist jedoch geplant. Zudem zeigte das experimentelle System klare Signaturen von Nichtlinearitäten, welche wir zusätzlich untersuchen wollen.
Publications
- On the theory of cavities with point-like perturbations. Part II: Rectangular cavities. Journal of Physics A: Math. Gen.
T. Tudorovskiy, U. Kuhl, and H.-J. Stöckmann
- On the theory of cavities with point-like perturbations. Part I: General theory. J. Phys. A 41, 275101 (2008)
T. Tudorovskiy, R. Höhmann, U. Kuhl, and H.-J. Stöckmann
- Singular statistics revised. New Journal of Physics 12, 123021 (2010)
T. Tudorovskiy, U. Kuhl, and H.-J. Stöckmann
