Polylogarithmen und spezielle Werte von L-Funktionen

• Applicant: Professor Dr. Guido Kings
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2005 to 2012
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5471524

Polylogarithmen sind eines der entscheidenden Hilfsmittel, um die Arithmetik spezieller Werte von L-Funktionen zu untersuchen. Praktisch alle bisher bekannten Fälle der Beilinson- und der Tamagawazahl-Vermutung wurden mit Hilfe der Polylogarithmen bewiesen. Über die syntomische Realisierung war bisher nur etwas für die zyklotomischen Polylogarithmen und einzelne CM-elliptische Kurven bekannt. In der Arbeit [BaKi07] wird erstmalig die syntomische Realisierung des Polylogarithmus auf dem Modulraum gewöhnlicher elliptischer Kurven beschrieben und ein Zusammenhang mit dem Katzschen Eisensteinmaß hergestellt. Das hier erzielte Verständnis soll auf den für Spitzenformen bedeutsamen Fall der Cup-Produkt Konstruktion ausgedehnt werden. Weiterhin soll der Zusammenhang mit dem Beilinson-Levin-Maß untersucht werden.Auf rein topologischem Wege Rationalitätsaussagen über spezielle Werte von L-Funktionen zu gewinnen, ist bisher meistens mit Eisensteinreihen gelungen. Die Arbeit [Ki05] stellt eine Beziehung des topologischen Polylogarithmus mit kritischen Werten von L-Funktionen totalreeller Körper her. Einerseits soll durch eine Verallgemeinerung der Ideen von Harder-Anderson ein Zusammenhang mit nicht-kritischen L-Werten hergestellt und andererseits soll untersucht werden, inwieweit der Polylogarithmus mit der Eisensteinkohomologie von Harder [Ha1] zusammenhängt. Mit dem ersten Projekt sollten sich neue Fälle der Gross-Beilinson Vermutung für spezielle Werte von L-Funktionen zu totalreellen Zahlkörpern ergeben.

• DFG Programme: Research Units
• Subproject of: FOR 570: Algebraic Cycles and L-functions