Verallgemeinerung der Witten-Methode für singuläre Räume und Einführung des entsprechenden Witten-Komplex auf singuläre Räume
Final Report Abstract
In diesem Projekt ist ein vollständiges Verständnis der Wittendeformation für den Modellfall von singulären komplexen algebraischen Kurven und stratifizierten Morsefunktionen im Sinne der Theorie von Goresky/MacPherson gelungen. Man kann Wittens Programm zum Beweis der Morseungleichungen für eine Morsefunktion auf einer glatten Mannigfaltigkeit in zwei Teile unterteilen, und zwar (1) Analytischer Beweis der Morseungleichungen mit Hilfe der Wittendeformation des de Rham-Komplexes. (2) Vergleich des Komplexes der Eigenformen des Witten-Laplace-Operators zu kleinen Eigenwerten mit dem geometrischen Thom-Smale-Komplex. Beide Programmpunkte konnten für den Modellfall einer komplexen singulären Kurve X und stratifizierter Morsefunktionen f verallgemeinert werden. Für singulare Räume mit kegelartigen Singularitäten wird die Wittendeformation (statt auf den de Rham Komplex) auf den Komplex der L2-Formen angewandt. Die relevante topologische Invariante ist demnach - anders als im glatten Fall - die L2-Kohomologie bzw. ihr Dual, die Schnitthomologie der Kurve. Die stratifizierten Morseungleichungen liefern eine Beziehung zwischen der Anzahl der kritischen Punkte von f und den L2-Bettizahlen von X. Dabei wird jede Singularität von X mit einer geeigneten Multiplizität gezählt. Die hier bewiesenen Morseungleichungen (für die L2-Kohomologie) entsprechen genau den stratifizierten Morseungleichungen von Goresky/MacPherson (für die Schnitthomologie). Vom Standpunkt des analytischen Beweises hängt der Beitrag einer Singularität der Kurve zu den Morseungleichungen mit den kleinen Eigenwerten des transversalen Laplace-Operators (auf dem Link) zusammen. Dies ist insofern interessant, als dass diese auch für andere Aspekte der L2-Theorie auf singulären Räumen eine Rolle spielen, beispielsweise für Indexsätze oder bei der Frage nach der Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators. In der stratifizierten Morsetheorie gibt es kein Analogon zu dem Thom-Smale-Komplex der glatten Theorie. Nichtdestotrotz kann für den Fall der Kurve die geometrische Situation gut verstanden werden. Man definiert zuerst einen geeigneten Unterkomplex des "Komplexes der instabilen Zellen". Analog zum glatten Fall erhält man dann entsprechende Vergleichssätze zwischen diesem geometrischen Komplex und dem Komplex der Eigenformen des Witten-Laplace-Operators zu kleinen Eigenwerten. Wichtig an den Ergebnissen aus diesem Projekt ist nicht der Beweis der stratifizierten Morseungleichungen - diese sind schon aus der Theorie von Goresky und MacPherson bekannt - sondern die Entwicklung der Wittendeformation als Methode für singulare Räume. Diese könnte sich als hilfreich erweisen um andere Invarianten singulärer Räume zu studieren.
Publications
- The geometric complex for algebraic curves with cone-like singularities and admissible Morse functions. C.R. Acad.Sci. Paris Ser.I (2009)
U. Ludwig
(See online at https://doi.org/10.1016/j.crma.2009.03.028) - The Witten complex for algebraic curves with cone-like singularities. C.R. Acad. Sci. Paris Ser.I 347 (2009), 651-654
U. Ludwig
