Selbstkonkordante Barrieren für Kegel nichtnegativer Polynome

• Applicant: Professor Dr. Alexander Prestel
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2005 to 2008
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5442808

In der mathematischen Optimierung versucht man, einen Minimal- oder Maximalpunkt einer auf einer Menge S definierten Funktion numerisch mit Hilfe eines Rechners schnell zu finden. Ein bekanntes Beispiel, wo dies sehr gut gelingt, ist die lineare Optimierung, deren Anwendung in zahlreichen Gebieten der Wirtschaft und Technik selbstverständlich geworden ist. Es handelt sich dabei um die Minimierung einer linearen Funktion auf einem Polyeder S. Ein Polyeder ist definiert durch endlich viele lineare Ungleichungen, ist also ein "eckiges" konvexes Gebilde in einem mehr-, oft hochdimensionalen Raum, im Dreidimensionalen etwa ein Würfel oder eine Pyramide. Bei Inneren-Punkte-Verfahren wandert man im Innern von S entlang absteigender Funktionswerte, um in ein Minimum zu gelangen. Man benötigt dazu gute sogenannte Barrieren für S zur Steuerung des Abstiegs, die anschaulich das Überschreiten des Randes von S in einer gewissen Weise ankündigen und durch eine passende Ablenkung verhindern. Es hat sich in letzter Zeit herausgestellt, dass man gute Barrieren auch für Mengen S finden kann, die allgemeiner sind als Polyeder, deren Ecken in gewisser Weise abgerundet sein dürfen. Dies führt zu einer sehr nützlichen Verallgemeinerung der linearen Optimierung, der sogenannten semidefiniten Optimierung. Diese neue Klasse der semidefiniten Optimierungsprobleme besitzt aus algebraischer Sicht völlig natürliche Verallgemeinerungen, die geometrisch einer noch größeren Abrundung der Ecken der Menge S entspricht. Ziel des Projektes ist, auch für solche Mengen S gute Barrieren zu finden.

• DFG Programme: Research Grants