Funktionen und (Funktionen-) Ringe in der reellen Algebra und reellen Geometrie
Final Report Abstract
Das Projekt wurde von Prof. Dr. N. Schwartz in Passau und Prof. Dr. M. Knebusch in Regensburg gemeinsam beantragt und bearbeitet. Kern der Zusammenarbeit war ein gemeinsames wöchentliches Oberseminar beider Arbeitsgruppen, das während der Vorlesungszeit wechselnd in Passau und Regensburg stattfand. Wissenschaftliche Mitarbeiter haben zwischen Passau und Regensburg gewechselt. Zahlreiche auswärtige Gäste haben das Projekt besucht und wissenschaftliche Vorträge gehalten. Es wurde eine kurze Tagung organisiert. Die in Passau erzielten wissenschaftlichen Ergebnisse tragen zu den Grundlagen der reellen Algebra und kommutativen Algebra bei. Anwendungen liegen im Bereich der Modelltheorie, der Topologie und der semi-algebraischen Geometrie. Zwei Begriffe spielten für die Projektarbeit eine zentrale Rolle, einerseits der in früheren Arbeiten von N. Schwartz entwickelte Begriff eines reell abgeschlossenen Ringes, andererseits der Begriff eines Spektrums. • Eine Fortentwicklung des Begriffs reell abgeschlossener Ringe sind die super reell abgeschlossenen Ringe, welche zu ganz neuen Ergebnissen über algebraische, modelltheoretische und kategorientheoretische Eigenschaften von Ringen stetiger Funktionen fuhren. • Es ist bekannt, dass reell abgeschlossene Ringe zur Untersuchung der Topologie reeller Spektren geeignet sind. Die Entwicklung der algebraischen Topologie reeller Spektren (Homotopie, Kohomologie etc.) erfordert eine solide Kenntnis reell abgeschlossener Ringe unter systematischer Einbeziehung von Teilmengen ihrer reellen Spektren. Für diesen Zweck wurde im Projekt eine passende Kategorie definiert. Eigenschaften der Kategorie und ihrer Objekte wurden untersucht. Die Arbeit an diesem Projektteil ist noch nicht abgeschlossen. • Es gibt andere, konkurrierende Begriffe reell abgeschlossener Ringe. Einer davon wurde von Sankaran und Varadarajan vorgeschlagen. Im Projekt wurde dieser Begriff demjenigen von Schwartz gegenübergestellt. Reelle Abschlüsse im Sinne von Sankaran und Varadarajan sind im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Für von Neumann reguläre Ringe wurde geklärt, wann sie eindeutig bestimmt sind. Im Falle, dass sie nicht eindeutig bestimmt sind, wurde eine Klassifizierung der reellen Abschlüsse gefunden. • Viele Eigenschaften konvexer Unterringe von reell abgeschlossenen Ringen sind wohlbekannt. Konvexe Unterringe sind aber auch für allgemeine teilweise geordnete Ringe von großer Bedeutung. Im Projekt wurde gezeigt, dass sich viele Ergebnisse über konvexe Unterringe reell abgeschlossener Ringe auf wesentlich größere Klassen teilweise geordneter Ringe ausdehnen lassen. Insbesondere wurden die Zusammenhänge zwischen den Primspektren eines teilweise geordneten Ringes und eines konvexen Unterringes genau untersucht. Man kann mit diesen Ergebnissen viele Ringe identifizieren, die nicht konvexe Unterringe anderer Ringe sind. • Primspektren von Ringen spielen in der Algebra und in der algebraischen Geometrie eine bedeutende Rolle. Im Projekt wurden modelltheoretische Eigenschaften von Primspektren untersucht. Typische Resultate sind: Die Klasse der Ringe mit normalem Primspektrum ist axiomatisierbar, die Klasse von Ringen mit vollständig normalem Primspektrum dagegen nicht.
Publications
- An o-minimal version of the Riemann Mapping Theorem and the Dirichlet Problem. Habilitationsschrift, Universität Regensburg, 2006
T. Kaiser
- Definability results for the Poisson equation. Advances in Geometry 6 (2006), 627-644
T. Kaiser
- Capacity density of subanalytic sets in higher dimension. Potential Analysis 26 (2007), no.4, 397-407
T. Kaiser
- Real closed graded fields. Order 24 (2007), no.2, 107-120
T. Kaiser
